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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 4 Introduction Une géométrie pratique La Géométrie pratique, aussi appelée parfois « Art du Trait » renvoie à la tradition du tracé d’architecture tel qu’il s’est développé en Occident à partir du Moyen-Âge. Il est, pour l’architecture, l’équivalent du Trait de charpen-te, inscrit depuis 2009 sur la liste représentative du patrimoi-ne culturel immatériel de l’Humanité, conçu comme un en-semble de « … moyens graphiques en usage depuis le XIIIe siècle en France, permettant d’exprimer par le dessin et avec la plus grande précision la réalité des volumes d’un édifi-ce» (UNESCO, dossier n°00251) La difficulté majeure réside dans le caractère non histori-que de cet ensemble de techniques qui ne se s’est - à aucu-ne époque - constitué en corpus scientifique défini. Il s’agit davantage d’une tradition composée d’une multitude de sa-voirs, de savoir-faire et de routines, apparemment transmis sur les chantiers de construction ou dans les « salles de trait » des maîtres constructeurs. Rares sont les traces maté-rielles qui peuvent attester de recherches formelles, et histo-riquement déterminées, s’apparentant à des éléments de plan, souvent sous forme d’ épures. Ainsi les tracés gravés depuis le XIIIe s. sur le dallage, ou des enduits soigneuse-ment préparés, dans les combles de la cathédrale de Bayeux, sur les terrasses des cathédrales de Clermont-Ferrand, de Narbonne, Limoges… ou encore de Bourges, d’York, etc. Réalisées avec précision par l’appareilleur, ces épures ont servi de support pour la production des gabarits en bois destinés à la taille des pierre. Dans certains cas, ce sont de simples essais graphiques, des expérimentations fondées sur la mesure des axes, des angles et des distances. Les premières esquisses publiées datent également du XIIIe s., à l’instar du carnet de Villard de Hon-necourt, pour être complétées deux siècles plus tard par Matthias Roriczer avec le Büchlein von der Fialen Ge-rechtigkeit (Livret de la rectitude des pinacles, Ratisbonne, 1486) ou encore Hanns Schmuttermayer avec son Fia-lenbüchlein, (Livret des pinacles, Nu-remberg, chez Georg Stuchs, vers 1486). La Renaissance et l’Âge Classique, bien que marqués par une relative profusion de traités de géométrie, restent singu-lièrement muets sur les fondements et méthodes des tracés d’architecture. Quelques indices toutefois: la règle de pro-portion des portes que donne Ph. de L’Orme dans son pre-mier tome de l’architecture (1567-1568) permet d’induire et la grille de composition et la structure du tracé… Á la même époque, S. Serlio propose une démarche simi-laire (Premier livre d’architecture... Second livre de perspecti- V. de Honnecourt: les deux flamants ou comment construi-re une perpendiculaire (f°19), par R. Bechmann (bnf.fr)

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 5 Introduction suite -ve (traduit de l’italien par J. Martin, impr. J. Barbé, Paris ; 1545). Cette « règle de S. Ser-lio » est explicitement reprise, un siècle après, par un archi-tecte comme F. Blondel pour «former la hauteur et la lar-geur d’une porte proportion-née à une largeur donnée dans un édifice » (du Cours d’Architecture, livre IX, chap. 1 ; 1675-1683) à partir d’un carré, de ses diagonales et demi-diagonales… Encore s’agit-il d’induire la structure du tracé, puisque rien n’est donné explicitement… La restitution comme preuve Dès lors, en l’absence de traces explicites… la restitution à l’identique (restitutio ad integrum) s’impose comme seul champ de cohérence global capable de générer sa propre validité! Il ne suffit pas simplement de reproduire et de don-ner à voir la similitude entre le modèle et son tracé, mais de proposer une interprétation possible qui conduit à produire un tracé cohérent structurant ce modèle. La qualité de cette interprétation et la cohérence de ces fondements constituent autant d’hypothèses dont la fécondité se vérifie par le nom-bre des restitutions qu’elles produisent avec succès! Les pages qui suivent ne prétendent donc pas à une quelconque historicité des démarches proposées. La plupart ne sont d’ailleurs ni datées… ni datables… sans certitude au-cune quant aux preuves éventuelles de leur circulation… La solution - ô combien mythique ! - de la « quadrature du cercle », mathématiquement impossible, est toutefois donnée avec une approximation suffisante dès le XVIe s. av. notre ère en Egypte, comme le prouve le papyrus Rhind découvert vers 1860, pour résoudre des questions d’arpentage (construction de silos circulaires en fonction de parcelles d’une surface donnée). La solution est simplissime: un carré de 8 modules de côté a une aire équivalente à celle d’un cercle de 9 modules de diamètre… L’écart est inférieur à 0.56% (avec π~ 22/7). Cette équivalence se retrouve dans nombre de tracés, et ce dès le Moyen-Age… Comment prouver qu’il s’agit de la même ins-piration?... Il faut attendre, en Occident, les travaux de Nico-las de Cues pour obtenir une approximation correcte (De quadratura circuli, 1450). Règle de S. Serlio

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 6 Les éléments de géométrie, qui se trouvent dans les pa-ges suivantes, forment un ensemble disparate, une compila-tion patiemment constituée au fil du temps, par des auteurs apparemment restés anonymes… Néanmoins, tous conver-gent pour constituer un champ de cohérence global fécond. Un champ de cohérence global L’une des hypothèses fondamentales qui préside à cette démarche réside dans son caractère uniciste ou encore orga-niciste : une démarche à la fois une et plurielle… qui est cen-trée sur le point et le cercle (le mandala initial)… puis l’inscription et la décomposition harmonique de polygones, étoilés ou non, en résonance avec une grille de composition qui permet d’exprimer immédiatement les mesures en mo-dules. Cette démarche est indéfiniment reproductible. C’est l’avantage. Elle ne supprime pas pour autant toutes les varia-tions possibles, les raccourcis et les simplifications. Mais la matrice est très clairement identifiée, et simple. Cela ne sup-prime pas non plus toute la richesse et la complexité des fi-gures et des motifs qui peuvent être créés. Les possibilités sont (quasiment) infinies! Pas à pas, nous voyons émerger la complexité des tracés à partir de la simplicité de leurs fondements. L’exercice a d’ail- Introduction suite -leurs été porté à sa plus haute virtuosité à mesure que la période gothique atteignait ses horizons flamboyants à la fin du XVe s. La simplicité des instruments de tracé est à l’image de cette démarche: une simple règle et un compas suffisent. Cela ne signifie pas que le Moyen-âge aie méconnu l’usage de l’équerre. Bien au contraire, les équerres « à bords diver-gents » - dont il existe de multiples traces, y compris dans les études d’historiens comme A. Sené - témoignent des re-cherches des maîtres d’œuvre sur le double carré (diagonale: √5), la partition d’un chevet en 5 ou 10 parties, ou encore… le nombre d’Or… et ce, dès le XIIIe s. Cette démarche permet en-core de restituer les parterres de « carreaux rompus » et d’entrelacs, tels qu’ils ont été créés à la Renaissance, à ceci près que la grille de composition doit être adaptée aux né-cessité du jardinage et se doter de « doubles lignes »… Vous avez ainsi, dans les pages qui suivent, tout le néces-saire pour revisiter les plus belles œuvres de notre patrimoi-ne! Belles découvertes à vous! G. Barot, printemps 2022 Règle décagonale (1270) / relevé d’A. Sené

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 11 « Dieu en son temple » : tracé régulateur du Panthéon de Rome d’après F. Blondel (Cours d’architecture, livre V, 1675): Carré long - en rouge - construit à partir de l’octogone inscrit dans le cercle de fondation. Le Cercle - fondation Le symbole du cercle traduit l’une des quêtes les plus ardentes de l’Humanité: le retour à l’Unité, l’union au divin. Ce retour ne peut se réaliser qu’au terme d’un long cheminement, tel un pèle-rinage. L’unité ne peut s’appréhender immédiatement. Si toute forme architecturale peut s’inscrire dans un cercle - le cercle de fonda-tion - elle s’en écarte souvent dans le plan de sa construction. Aussi le cercle de fondation peut-il être dupliqué pour former une figure particulière, en forme d’entrelacs associant trois cercles issus de la duplication du cercle central, et base du double carré. Ce « carré long », de proportion 1 x 2, présent dans nombre de monuments, symbolise souvent « Dieu en son temple » (de proportion de 20 x 40 coudées, d’après la Bible, Livre des Rois, I, 6, 2-3 et 6, 14-20).

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 12 Le Cercle - structure fondamentale La duplication du cercle est l’un des premiers processus dyna-miques permettant de créer des formes architecturales en harmo-nie avec le tracé du cercle de fondation. Cette structure fonda-mentale, basée sur quatre « pétales » (et autant de mandorles) a été mise en évidence par R. Montercy (L. Rosier Les Yantras, 2013 ; p. 115). Deux formes en sont le symbole: le taijitu (symbole taoiste du yin et du yang) et le trèfle roman de la tradition occidentale. Structure fondamentale du Cercle - genèse de tous les tracés de la tradition occidentale, depuis la période romane : cercle inscrivant la croix ; nœud d’équilibre ; quatre pétales… ici au monastère royal de Brou (Ain ; cliché de l’auteur, été 2022)

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 13 Le Cercle - voie ad triangulum (1) Ci-dessous: Y. Jacquier Géométrie comparée - le tympan de l’abbatiale Sainte-Foy de Conques ; 2013 ; p. 7. L’un des premiers tracés issu de la duplication du cercle est le triangle équilatéral inscrit dans le cercle de fondation et élevé à partir de ses intersections avec la structure en pétale. Ce tracé inaugure une première voie, selon le Triangle, ad triangulum. Le système de proportions qu’il génère est basé sur √3… Ce tracé s’exprime très tôt sous la forme de la mandorle. N. B. Il est évident qu’un second triangle équilatéral peut être tracé, symétriquement par rapport à l’axe horizontal de la croix centrale, pointe vers le bas, à partir des pétales supérieurs...

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 16 Le Cercle - voie ad triangulum (4) La partition du triangle permet de créer une trame, ou Grille de composition, très complexe comme l’a parfaitement montré Franz Ržiha dans l’étude de 1163 marques de tailleurs de pierre du Saint-Empire Romain Germanique (et de la Grande Loge de Strasbourg). Ingénieur des Mines, Ponts et Chemins de Fer en Autriche-Hongrie, Franz Ržiha (1831-1897) est l’auteur d’une monumentale Études sur les marques de tailleurs de pierre, co-édition 2010 ; 300 p.) a mis en valeur 14 clés permettant de recréer les ...9 000 marques qu’il a recensées! Voir exemples ci-dessous. Sept clés relèvent de la voie ad triangulum, et sept autres de la voie ad quadratum. Elles illustrent ainsi les deux modalités du « réseau fondamental », lequel permet de fournir un quadrillage efficace du plan, facilite les opérations du tracé en élévation ou grandeur nature, sous la forme d’une « épure » dont il reste quel-ques exemples gravés (à Bourges, à Clermont-Ferrand… York, etc.) Propriétés géométriques (tracé ci-contre, page de gauche) - Á chaque génération, le triangle inscrit (en rouge, puis en vert, en noir…) est tracé dans un cercle dont le rayon est réduit de moitié. Le côté du triangle est égal au rayon multiplié par √3 !

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 17 Le Cercle - voie ad quadratum (1) La structure fondamentale du Cercle donne également nais-sance à une seconde voie, selon le Carré, ad quadratum. Son tra-cé est donné immédiatement par la structure même du mandala fondamental : les axes de symétrie des 4 pétales sont les diagona-les du carré inscrit! La bissection du carré permet de créer une trame ou Grille de composition basée sur la rotation à 45° et la réduction succes-sive (selon 1/√2) des carrés obtenus… Cette méthode de carroyage est documentée dès le Moyen-âge. Hans Hammer, maître d’œuvre de la cathédrale de Stras-bourg, Musterbuch, pl. 36 (fin XV°-début XVI° s.) Villard de Honnecourt Carnet, XIIIe s. (folio 19) : la Reconnais-sance ou partition du carré... Le cercle de fondation inscrit en fait deux carrés: l’un « à plat », en vert, et l’autre « debout » ou encore « sur pointe », en rouge. Villard de Honnecourt: portrait et grille de 4. (folio 19). Le tracé figure peut-être la marque person-nelle de l’architecte (d’après R. Bechmann).

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 18 Le Cercle - voie ad quadratum (2) Les études de Franz Ržiha (op. cit.) montrent également toute la complexité de la trame ad quadratum (exemples ci-dessous). Ci-dessous : trame ad quadra-tum du tracé de la tour de Laon, d’après Villard de Honnecourt (album, f° 9v et R. Bechmann op. cit. p. 103, fig. 29). La partition du carré permet de créer une trame ou Grille de composition tout aussi complexe que celle issue de la voie ad triangulum. Ainsi, le tracé régulateur du megaron celte de Vix (Mont Lassois, Côte-d’Or ; fin du VI° s. av. J-C / tracé : G. Barot) ou encore le tracé de la tour de la cathédrale de Laon par Villard de Honnecourt... Ci-contre : Relevé archéologi-que : B. Chaume & C. Mordant Le complexe aristocratique de Vix, EUD, Dijon, 2011 ; pp. 430-478.

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 19 Le Cercle - voie ad quadratum (3) La duplication rétrograde du carré initial (en rouge ou en vert) selon 1/√2 donne les propriétés suivantes:  Le côté du carré obtenu est réduit de 1/√2 par rapport au côté du carré dont il est issu;  Toutes les 2 générations, le côté du carré obtenu vaut la moitié du côté du carré de référence;  La duplication forme donc la suite 1 - 1/√2 - 1/2 - 1/2√2 - 1/4 - 1/4√2 - 1/8 - 1/8√2 - 1/16  A chaque génération, l’aire du carré est divisée par 2;  Toutes les 2 générations, l’aire du carré obtenu vaut le quart de la surface du carré de référence. D’où la suite 2, 4, 16, 64, etc. Le tracé ci-contre (en bas) montre une succession de carrés for-mant des degrés dont la largeur est - à chaque génération - ré-duite de 1/√2. Cette série concentrique est obtenue en basculant à 45° les carrés « esprit » (ou « sur pointe »). À chaque généra-tion, la largeur du degré équivaut à 1/7° du côté du carré précé-dent (exactement [1 - (1/2√2)]/2)… Noter les rapports entre le côté d’un carré et le rayon du cercle inscrit, soit 1/2 ; entre le côté d’un carré et le rayon du cercle cir-conscrit, soit 1/√2.

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 22 Le triangle équilatéral Le carré Le triangle équilatéral est la première figure plane, succédant au point et au cercle (ligne tracée à égale distance d’un point…). Son tracé repose sur la structure « en pétales ». Le carré est la deuxième figure issue de la genèse des Formes, correspondant au nombre Quatre. Son tracé repose également sur la structure « en pétales », soit « debout » (« sur pointe ») soit « à plat », horizontalement. Le carré est une forme fondamentale qui ouvre l’autre voie, ad quadratum, basée sur la bissection et la rotation du carré, √2 et 1/√2. Le « carré long » (diagonale √5) permet de tracer Phi, etc. Le triangle équilatéral est une forme fondamentale de la géo-métrie traditionnelle: il initie la voie ad triangulum, le tracé de la vesica piscis, de la Fleur de Vie, basé sur √3, mais aussi Phi, etc. Il est tracé à partir de l’intersection du cercle de fondation (en bleu) et de la structure en « pétales ».

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 23 Le pentagone Le pentagone est - avec le triangle équilatéral, et par voie de conséquence l’hexagone, le dodécagone, etc. - l’un des polygones réguliers inscriptible dans un cercle, et qui peut être construit « à la règle et au compas ». Les méthodes de construction sont nom-breuses : se reporter aux publications des Compagnons du Devoir (cf. bibliographie finale). Les tours pentagonales apparaissent au XIIIe s., notamment dans les châteaux forts (ainsi en Alsace: château de Bernstein, près de Barr). Les plans pentagonaux se développent surtout à partir de la Renaissance (château de Meaulnes, dans l’Yonne, fin XVIe s. ; pa-lais Farnèse de Caprarola, par Vignole, à partir de 1559, etc.) La base du pentagone donne quant à elle la forme du Pois-son, ou de la Baleine… Il existe d’autres tracés basés sur l’œil d’Oudjat (héritage égyptien), ou le carré inscrit dans un demi-cercle (méthode d’Hippocrate), etc. La méthode de Dürer ne nécessite qu’une seule ouverture de compas mais elle moins précise. Le pentagone (de côté 1) est lié au Nombre d’Or : ses dia-gonales valent Phi [(1+√5)/2]. Il se décompose en triangles Subli-mes (72°-72°-36°), Triangles d’Or (108°-36°-36°) et d’Argent (144°-36°-36°). Il a pu être tracé dès le Moyen-âge à l’aide de ces étonnan-tes équerres décagonales, aux bords non parallèles... Villard de Honnecourt « portrait d’une tour à cinq arêtes », obtenu ici sans doute par rotation de l’équerre (Bnf, Fr 19093 ; folio 21). La forme pentagonale est cependant attestée dans les che-vets d’église (Carnet de Villard de Honnecourt: folios 14-15) et surtout les rosaces (à Saint-Ouen, Saint-Quentin, ou encore à Amiens, où l’étoile pentagona-le est inversée…). Ce tracé - attri-bué à Ptolémée - est célèbre pour sa figure «en hache », dont le manche n’est autre que la diagonale √5 d’un carré long élevé sur le rayon et le demi-rayon! Le motif de la «hache» apparaît chez Dürer (Instructions…, 1525) et dans le Premier livre d’architecture de S. Serlio (traduit et édité par J. Martin, à Paris, 1608 ; p. 20).

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 24 L’Hexagone Fonts baptismaux du baptis-tère du Sacré-Cœur de Dijon, construit de 1933 à 1938 (restitution inédite : G. Barot). L’hexagone est tracé en re-portant 6 fois le rayon du cer-cle sur sa circonférence. Chaque couronne intérieure de l’hexagone ci-dessus est ré-duite de 1/√3 par rapport à la précédente (et ce, à chaque génération). Le tracé de cet oculus go-thique (ci-contre) est basé sur la double couronne intérieure de l’hexagone, donc sur √3. Tracé régulateur restitué par G. Barot à partir des cotes de G. Jouberton (Tracés & coupes des pierres, éd. Vial; 2013). Rosace gothique d’après les cotes de G. Jouberton (Tracés & coupes des pierres, éd. Vial, 2013). Restitution : G. Barot Six est le seul nombre unitaire qui est à la fois la somme et le produit de ses diviseurs propres (1+2+3 = 1x2x3). Idem pour le nombre 28 dans la série des dizaines. Dans la Cité de Dieu (Livre XI, chap. XXX), saint Augustin rappelle que « (…) la création fut achevée en six jours, non que Dieu ait eu besoin de ce temps (…) mais le nombre sénaire exprime ici la perfection de l’ouvrage di-vin. (…) C’est dans ce nombre parfait que Dieu acheva ses ouvra-ges. » Six est ainsi le Nombre de la Perfection et de l’Harmonie, très fécond dans l’architecture, notamment en relation avec l’eau (cf. lavabo du cloître de l’abbaye du Thoronet; nombreux fonts baptismaux...).

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 25 L’Heptagone Sept appelé « virginal » (car inengendré par un couple de nombres de la décade et n’en engendrant aucun dans celle-ci) fut associé à Athéna, puis à la Vierge Marie, ou à l’Esprit Saint... Il se retrouve dans le tracé régulateur de la cathédrale de Chartres se-lon J. Ledit (Le voile d’Isis, à l’Orient des Cathédrales, Cahier Bleu, 1983). Le gable surmontant le portail occidental de la primatiale Saint-Jean, à Lyon, est orné d’une magnifique rose heptagonale... Nombre de chevets d’église sont divisés en sept parties, mais rares sont les monuments heptagonaux en raison du carac-tère irrégulier de ce polygone. Les tracés ci-contre (associant car-ré et triangle équilatéral) sont justes au 7/10 000° près… Ci-contre à droite: tracé d’après la Géométrie de Dürer, 1525). Variante chez G. Jouberton (Tracés & coupes des pierres, éd. 2007 ; p. 44).. Église de l’Assomption-de-Notre-Dame, à Rieux-Minervois, située dans l’Aude (XIe s.): rotonde à 7 côtés dans sa partie centrale, avec coupole à sept pans, et déambula-toire de 14 côtés. Rosace de Beaulieu en Rouergue basée sur les premiers nombres de la suite de Fibonacci (d’après R. Chalavoux Nombre d’Or, Cha-lam éd., 2015 ; p. 56-57). Ci-dessus: A. Dürer (Instructions pour la mesure, à la règle et au com-pas, des lignes, plans et corps solides, 1525) associe le côté de l’heptagone au demi-côté du triangle équilatéral inscrit dans le même cer-cle. L’approximation est excellente : 1/3 de degré (cf. L. Rosier (Les Yan-tras, 2013 ; p. 94). N.B. Le tracé - complet - de Dürer fait apparaître… la coupe dite « du Graal ! »... (ci-dessus à droite) Rares sont les auteurs qui ont repéré les intersections du cercle avec le triangle équilatéral élevé sur le carré circonscrit à ce cercle… (ci-dessus à gauche). La hauteur du triangle équilatéral est égale à 6/7 du côté du carré : (√3)/2 = 6/7 (au 1/100° près). Le triangle équilatéral inscrit dans le cercle permet de diviser la voûte d’une abside en 7 ogives! (cf. V. de Honnecourt, folios 15-17). Voir P-H Leroy (Tracés de bâtisseurs, 2020 ; p. 29), et les démonstrations de G. Villemin (http://villemin.gerard.free.fr).

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 27 L’octogone Ancienne église de l’Ascension (Jérusalem, XIIe s.) Tracé régulateur du baptistère du Sacré-Cœur de Dijon (tracé inédit : G. Barot) La fécondité architecturale de l’octogone est aussi liée à sa signification symbolique : il est par excellence le Nombre de la transmutation, de la renaissance, du passage de la Mort à la Ré-surrection - et donc du baptême chrétien. Nombre de baptistères sont ainsi conçus sur un plan octogo-nal : Saint-Jean-de-Latran dès le IVe s. ap. J-C ; Saint-Léonce, à Fréjus dès le Ve s. ap. J-C, etc. La variante hexagonale (et dodécagonale) est également très présente : baptistère de Pise, construit du XIe au XIVe s., par exemple. L’octogone permet le passage du plan circulaire de la coupo-le au plan carré sur lequel elle doit reposer, le plus souvent à par-tir de « trompes » constituées d'un arc diagonal et d'une petite voûte par encorbellement (soutenant cet arc). La basilique Saint-Vital de Ravenne (VIe s. ap. J-C), modèle de la chapelle palatine - carolingienne - d’Aix-la-Chapelle (fin VIIIe s.), marqua une véritable renaissance architecturale qui précéda l’art roman, et se prolongea dans l’art ottonien. Exemples en France: Notre-Dame du Puy, Saint-Front de Péri-gueux, l’église de Solignac, ou encore la cathédrale de Cahors...

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 28 L’ennéagone Tracé élaboré à partir d’un entrelacs de 3 cercles (cercles bleus) créant un triangle équilatéral, et donc trois sommets de l’ennéagone. Le tracé se poursuit en construisant les diagonales internes de la figure, à partir d’intersections majeures (G. Destre / Atelier de l’Âme, 2018). Variante chez P-H Leroy (p. 32). Nova Palmae civitas in patria Foroiuliensi ad maris Adriatici… (Braun et Hogenberg Civitates Orbis Terrarum, vol. V, Cologne, 1598) L’ennéagone - autre polygone irrégulier - est peu présent dans le patrimoine architectural européen. Une variante du tracé est donnée dans le Traité pratique de coupe des pierres édité par les Compagnons du Devoir (t. III/1, fig. 34). Palmanova (Frioul – Vénétie Julienne), ville idéale bastionnée, créée en 1593 par le surintendant de la République de Venise, à partir des plans de l’architecte V. Scamozzi.

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 29 Le décagone Le décagone peut symboliser la perfection et l’achèvement. Une variante du tracé est donnée dans le Traité pratique de coupe des pierres édité par les Compagnons du Devoir (t. III/1, fig. 35). Ainsi les chevets sur plan décagonal (ci-dessous: folio 15 du Carnet de Villard de Honnecourt : le tracé régulateur basé sur √3 est exact (G. Barot 2021). Pour autant, il est peu attesté dans l’architecture, si ce n’est dans des roses gothiques. Le mausolée de Théodoric-le-Grand, érigé en 520 à Ravenne, est l’un des plus célèbres monuments sur plan décagonal, supportant une coupole de 11 m de diamètre… La division du demi-cercle par 5 est donnée par le triangle équilatéral GHI (ci-contre en bas à droite), inscrit dans le cer-cle de l’abside (ci-contre): son côté prolongé IG cou-pe AF en G’; tracer G’J passant par O: l’arc CJ vaut 1/5 de l’arc CD… Ou encore: tracer ABH’G’ ins-crivant le triangle équilaté-ral ABI’. Tracer alors G’J passant par O! Ci-dessus : le déca-gone peut être créé par bissection des côtés du pentagone. Ou bien, plus simple-ment (à nouveau ci-dessus) : tracer l’arc a centré en A et coupant AB en C. L’arc b, centré en B, de rayon BC donne le côté du décagone.

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 30 L’hendécagone - polygone à 11 côtés Le tridécagone - polygone à 13 côtés B A Plan de Nicosie (Chypre) par G. F. Camocio, XVIe s. Pièce de 1 US dollars, 1999 Le tridécagone n’est pas un polygone régulier. Néanmoins A. Dürer en a donné une construction très approchée dans ses Ins-tructions (1525), en reportant le demi-rayon réduit de… 1/24° (s’aider pour cela de la structure d’un hexagone). Le côté du tridéca-gone est donc très proche de 23/48° du rayon! (cf G. Hugues The Polygons of Albrecht Dürer, 2012, University of Chicago). Le tracé de la rose centrale du labyrinthe de Chartres est un polygone à 13 côtés, dont 6 sommets ponctuent les centres des pétales, les 7 autres - non visibles - rythmant le reste du tracé. Soit AB le demi rayon, tracer les deux triangles équilatéraux ABC et ABC’’. Repérer C’, milieu de AC, et B’, milieu de BC. Tracer C’’C’ et C’’B’ pour obtenir D et E, à 1/3 et 2/3 de AB. Diviser EB par 2, à trois reprises (tracer les médiatrices) de telle sorte que FB = AB/24. AF (23/24 de AB) = AG, AH, etc., côtés du tridécagone. G H Le tracé, connu de Dürer (cf. Instructions, 1525) est donné par L. Rosier (Les yantras, 2013 ; p. 101 et 102). Le 2ème tracé, à droite, reprend le thème du « coup de hache » (AB donne la lon-gueur du côté du polygone). Le Traité pratique de coupe des pier-res (Compagnons du Devoir ; t. III/1, fig. 36) en donne une varian-te, ainsi que G. Jouberton dans l’édition 2007 des Tracés…. ; p. 51.

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 31 Étoiles et couronnes polygonales Étoiler un polygone, c’est relier deux à deux ses sommets op-posés, révélant alors une structure interne d’autant plus riche que le nombre de sommets est important. Le tracé de l’hexagone en est la preuve (cf. supra). Les multiples intersections des diagonales laissent apparaître des « couronnes » internes qui peuvent être matérialisées par un cercle. Cette structure complexe offre de multiples possibilités pour la conception des tracés. Ci-dessus: tracé régulateur du Panthéon de Rome, d’après F. Blondel (Cours d’architecture, livre V, 1675 ; p. 748 à 753), basé sur l’étoilement d’un polygone à seize côtés, inscrit dans une grille de sept mailles. Repérer le tracé de l’oculus central, inscrit dans la maille centrale, elle-même inscrite dans la couronne cen-trale… (restitution: G. Barot, 2020). Ci-contre (à gauche): « Règle de Serlio » pour le tracé des portes. Le tracé complet repose sur l’étoilement du dodécagone (d’après F. Blondel op. cit., livre IV ; p. 627-628).

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 33 Le tracé et les propriétés des grilles de Quatorze à Dix-Huit mailles carrées ne sont pas transmis dans ce fascicule. Se reporter au tracé des différents fenestrages et oculi dont les cotes sont données par G. Jouberton (op. cit.) et les tracés régulateurs sont fournis sur www.geometriesensible.com > e-boutique Traits d’esprit. La notion de « grille » modulaire, pourtant fondamentale dans l’histoire de l’art (peinture, typographie, etc.), semble mécon-nue en architecture. Pourtant, Ph de l’Orme, sans y consacrer beaucoup de pages, en a montré l’importance. V. de Honnecourt - et les maîtres bâtisseurs du Moyen-Age - semblent les avoir déjà parfaitement maîtrisées, comme le prou-vent les travaux universitaires de l’équipe d’A. Buchanan, à Liver-pool (projet « Tracing the past - medieval vaults ) avec les multi-ples applications du « star cut diagram » (diagramme étoilé, ou en « A de Charlemagne »... La construction de ces grilles « à la règle et au compas », donc à partir du cercle, est revanche restée confidentielle. Les tracés qui suivent doivent tout à L. Rosier et à son ou-vrage fondamental: Les yantras, tracés dynamiques des maîtres d’œuvre du Moyen-âge, et autres tracés… Mosaïque éditions, Roan-ne, 2013; 453 p. L’intérêt de ces grilles - toutes issues de la structure interne du carré inscrit dans le cercle, donc du « report à l’unité » (G. Jou-ven) - est de fournir une structure plus complexe au tracé, tout en le rendant pus lisible en termes de nombres de modules utilisés (indépendamment de l’unité de mesure). Il semble qu’elles ont pu servir au tracé des équerres médié-vales à « bords divergents »… (voir études de M-T Sarrade et R. Bechmann en fin de volume) Chaque grille a d’ailleurs ses propriétés spécifiques.

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 34 Notion de « grille » modulaire Ph. De L’Orme est l’un des rares architectes à laisser apparente la grille à partir de laquelle la construction se lit en nombre déter-miné de modules formant une proportion jugée esthétique... Le porche ci-contre est la restitution du tracé donné dans le Cours d’Architecture, livre VIII, chap. 4 (f. L35) : « Si vous y voulez faire un ordre dorique, vous diviserez toute la largeur et hauteur d’un chacun côté en dix huit parties, et mul-tiplierez un des côtés par l’autre, comme dix huit par dix huit, et vous aurez trois cent vingt quatre parties, ainsi que vous le pou-vez connaître par les lignes qui sont tirées de long et à travers en la figure suivante. Sur ce propos vous vous souviendrez des nombres dont je vous ai avertis ci-devant, afin de vous en aider, qui sont deux, trois, six, sept, et dix, lesquels nous employons ici, en donnant trois fois six de longueur, et autant de hauteur au proche dessin, qui font dix huit parties pour chacun côté. Puis nous prenons la tierce partie de la largeur (qui est six) et la donnant à la largeur de la porte entre les piédroits, et le reste des dix huit parties, sa-voir est douze pour la hauteur depuis le seuil, où l’on marche, jus-ques au-dessous de sa couverture. » La suite de nombres ainsi formée est une suite harmonique (musicale) 3 - 4 - 6 - (9) - 12 - 18, ou 3 x (3-4-6), proportion du type (a-c)/ (a-b) = a/b

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 35 Il en va de même pour le modèle de porte monumentale don-né au chap. 2 (livre VIIII): « Je vous propose ci-après un carré parfait, et le figure comme si je voulais faire une magnifique entrée, ou arc triomphal, ou bien quelque grande porte de ville, château, ou palais, divisant ledit carré en trente parties d’un chacun côté, savoir est trente de haut, et trente de large. Desquelles j’en prend dix pour le vide de la porte, et dix pour un chacun côté des fondements et piédestaux des colonnes marquées D. Auxquels piédestaux je donne six parties de hauteur, en y com-prenant leurs corniches et bases, et neuf pour leur largeur au-dessous de leurs corniches. Puis pour la grosseur d’une chacune colonne, je donne deux parties, et seize de hauteur entre la base et le chapiteau. Lequel chapiteau en a deux, et la base une. En après d’une colonne à autre, il y a quatre des susdites trente par-ties, qui sont deux diamètres de colonnes pour l’entre-colonnement, comme vous le connaîtrez aux endroits marqués E. Et d’une colonne à autre par le milieu, au droit de la porte, vous trouvez douze desdites parties, comme depuis le pied de la porte jusques au-dessus de l’imposte, dix huit. Toute la hauteur de la porte par le milieu, au-dessous de sa voûte, a vingt trois parties, ou vingt quatre, comprise l’épaisseur de l’arc, ou voûte de porte. La clef de ladite porte marquée F, a deux parties au-dessus, et une partie et demie par le dessous. La hauteur de son architrave marquée C, a une partie de haut, la hauteur de la frise marquée B, deux, et la hauteur de la corni-che signée A, deux autres.» D’où la suite arithmétique 3-4-5, de raison 1, avec ses multi-ples de 2, 3 et 2x3. Ce sont aussi les dimensions du triangle py-thagoricien (ou isiaque), qui se retrouve bien-sûr dans le tracé. En rouge : triangles 4-6-9 « sesquialtères doubles » (rapport 3/2)! Il existe encore d’autres proportions « à l’œuvre » : 3-6-8 (« diapason diatasseron : une quarte (4:3) au-dessus de l’octave), ou encore le Nombre d’Or (à partir du double-carré)...

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 36 La structure interne du carré: les « A de Charlemagne » Les équerres 3-4-5 et leurs mul-tiples... La structure interne du carré a été étudiée en profondeur par Tons Brunés dans les deux volumes consacrés à la géométrie qu’il publia en 1967 (chez Rhodos, à Copenhague). Le tracé est très simple, basé sur les demi-diagonales ou « A de Charlemagne », mais les proportions induites sont d’une im-mense richesse: équerres 3-4-5, racines… division « sacrée » du carré, genèse de toutes les grilles… Il a été publié pour la toute première fois par un historien de l’art germano-suisse, Walter Überwasser, au début des années 1930 (cf. bibliographie). Mode division du carré : de 1 à 11… (synthèse) Se reporter au tra-cé de chaque grille pour plus de détails (infra).

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 37 Le carnet de Villard de Honnecourt offre un exemple très intéressant de « réticulage » annon-çant le système complexe de voûtement à la fin de la période gothique. Il s’agit ici d’une « voussure pendante », du voûtement d’un plan carré, reposant sur 8 co-lonnettes. Se référer à l’étude remarquable de R. Bechmann (op. cit. p 118 à 122). Restitution du tracé régulateur:  grille de trois mailles carrées (subdivisées en 4) ;  Série de réductions rétrogrades de raison 1/√2 sur 8 générations ;  Tiercerons tracés à partir des intersections de la grille et de la structure interne (en vert), etc. Restitution inédite G. Barot 2022 Structure interne du carré: tracés de Hans Hammer, fin XVe s. - début XVIe s. (Musterbuch, Wolfenbütteler Digitalen Bibliothek (WDB), planches 42 et 46. Le tracé des voûtes reprend ici, explicitement, la structure in-terne du carré, mais aussi - ce qui est inédit ! - d’un rectangle dy-namique 1 x √2. La structure interne du carré: suite Repérer la trame de dé-composition du carré par 1/√2 («quadratures » en rouge). 1

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 39 La grille de trois Cette grille de 3 x 3 mailles représente le « monde en 9 » de l’ennéade de l’ancienne Egypte (son origine est sans doute chinoi-se: cf. carré des « neuf palais » de Luo Shu). Elle est parfois appelée « carré de Saturne », auquel de nom-breuses traditions ésotériques attribuent des propriétés magiques (G. Jouven Les nombres cachés, éd. Dervy Livres, Paris, 2003 ; pp. 108 –115 et 207-210): la somme des nombres inscrits aussi bien en diagonal, verticalement ou horizontalement fait invariablement 15. Ce nombre réduit donne 1+5 = 6 (nombre parfait…). En faisant abs-traction du 5 de la case centrale, la somme de ces mê-mes nombres donne 10, autre nombre parfait… Des trian-gulations donnent : 6 = (9+3)/2 ; 8 = (9+7)/2, etc. Et en-core bien d’autres propriétés. La grille est élaborée à partir de la structure interne du carré: les intersections des diagonales et demi-diagonales du carré. Les demi-diagonales (en gris) sont aussi appelées « A de Char-lemagne ». Ce sont par ailleurs les diagonales de doubles carrés (1 x 2 mailles), de valeur √5 (la maille étant l’unité).

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 41 La grille de quatre (suite) La grille de quatre per-met d’inscrire un octogo-ne régulier « calé » sur la structure interne du carré initial. Repérer l’autre octo-gone, irrégulier, au centre. Une solution à l’impossible quadrature du cercle?... Le cercle de rayon √5 (1 x 2 mailles de côté 1) a une aire de 5π, soit 15.7 unités, alors que le carré a une aire de 16 unités. L’écart est de 1.9 %... (L. Rosier Les yantras, op. cit. p. 221). C’est encore sur une grille de quatre que le triangle pythagoricien est élaboré: côtés de 3-4-5 unités ; périmètre de 12 unités ; aire de 6 unités carrées ; cercle inscrit uni-taire et mesure de Phi à l’intersection de ce cercle et de la bissectrice de l’angle obtus (Y. Jacquier La géométrie par les yeux, Prague ; 2017). La même figure permet de tracer le cercle de périmétrie (en pointillés rouges), dont la circonférence est équivalente au pé-rimètre du carré (écart mesuré inférieur à 0.1%… cf. L. Rosier ibid.)

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 43 La grille de sept Ci-contre à gauche: Ph. de L’Orme Architecture, tome 1er, livre VIII, chap. III (1567) : le tracé de cette porte, sur grille de sept, repose en fait sur la mesure de φ. Comment expliquer, sinon, le « débord » latéral et l’oblique a qui coupe la grille en A, centre de cercles de rayon ϕ ou √ϕ ? D’où la suite géométrique de raison Phi : 1- ϕ - ϕ2 (car 1+ϕ = ϕ2)... Et l’inscription du Pentagone étoilé, « calé » sur la grille… La grille de sept se subdivise également en triangles 3-4-5,… Elle inscrit un polygone à 16 côtés, ou hexadécagone, comme le montre le tracé régulateur du Panthéon de Rome par F. Blondel.. a A La grille de sept est assez délicate à tracer. La méthode donnée par L. Rosier donne une approximation relative. Tons Brunés (The Secrets of Ancient Geometry, t. 1, 1967; p. 93) propose une mé-thode basée sur la « division sacrée du carré » qui est quasi exac-te. Ci-contre (à droite), une méthode encore plus simple, basée sur la structure interne du carré: repérer les points A,B,C,D (en bleu) aux intersections des demi-diagonales, comme indiqué ; tracer les droites AC et BD; elles coupent le carré initial aux 1/7 et 2/7 de ses côtés! (cf. études de D. Kozlov sur le diagramme de T. Brunés). A B C D 1/7 2/7 2/7 3/7

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 44 La grille de sept: suite Le Panthéon de Rome, tel qu’il est analysé par F. Blondel (Cours d’architecture, à Paris, 1675 : livre Vème ; p. 748 à 753) ou G. Jou-ven (La forme initiale, symbolisme de l’architecture traditionnelle, Dervy-Livres, Paris,1985 ; chap. X, pp. 115 à 125), offre un exemple parfait d’utilisation des propriétés de la Grille de Sept. La Forme initiale est un Polygone à 16 côtés – ou Hexadéca-gramme - sur un axe dévié de 5° Nord-Ouest, orienté en fonction du lever du soleil le 21 avril, jour anniversaire de la fondation de Rome... Le Panthéon a été inauguré par Hadrien le 21 avril 135, sur le Champ de Mars... et consacré « à tous les dieux », notam-ment à Vénus et Mars, protecteurs de la famille impériale (Gens Iulia). Au Panthéon de Rome se produit cet extraordinaire phénomène astronomique à travers l’oculus au moment où le soleil à son zé-nith dépasse les 60° au-dessus de l’horizon, entre le 21 avril et le 21 août… Le soleil éclaire alors l’intérieur de la coupole de manière spectaculaire. La déviation de 5° correspond à 1/72° de l’angle plein (2π ra-dians ou 360°). D’ailleurs, le rayon de la coupole mesure justement 72 pieds… La rotonde est inscrite dans un carré de 100 pieds de côté (144/100 est une valeur approchée de √2). Le polygone à 16 cô-tés s’inscrit (presque) parfaitement dans une Grille de SEPT, Sept étant le Nombre associé à Vénus... Repérer le décalage - infime - entre la Grille et l’un des 4 carrés (ici en vert) de l’hexadécagone.

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 45 La grille de huit La grille de huit se construit facilement à partir de l’octogone central (irrégulier), comme indiqué ci-contre en haut. Elle permet de construire un carré et un cercle en quadrature!... En effet un carré de huit unités de côté (ci-contre, en bas, en bleu - aire: 64 unités carrées) est en quadrature avec un cercle de 9 unités de diamètre (ci-contre en bas, en rouge - aire: 63.617 unités carrées, soit un écart de 0.6 %). Résultat encore plus probant avec une valeur approchée de Pi à 22/7 (aire: 63.64 unités carrées). La solution était connue des Égyptiens : le papyrus de Rhind, daté de 1650 av. notre ère, contient la solution de ce problème! La croix celtique est tracée sur 3 cercles de diamètre 3 - 9 - 27 uni-tés (sur grille de 9, en gris), et sur 4 carrés « debout » de propor-tions 2-4-6-8 (sur grille de 8, en vert). C’est aussi la structu-re platonicienne de l’Âme du monde (Timée, IV° s. av. J-C) !...

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 46 La grille de neuf La grille de neuf est tracée à partir de 4 sommets l’octogone central (irrégulier : ci-contre à droite, en bleu), des intersections des pétales et des demi-diagonales (points rouges, cercle vert), puis des intersections de la croix centrale (violet clair) avec les demi-diagonales (points jaunes, cercle orangé). Elle est ainsi complémentaire de la Grille de huit, aussi tracée à partir de l’octogone central. La grille de neuf permet - tout comme la grille de huit - de ré-aliser la « quadrature du cercle ». Le tracé régulateur de la porte de Saint-Denis, à Paris, d’après F. Blondel (Cours d’architecture, IV, livre XII, chap. 6 ; 1675 ; p. 618 à 624), montre que le monument - jusqu’à l’attique - est inclus dans un carré initial (en rouge), divisible en 8 (de 8 toises, chacune subdivisée en 6 pieds de roi), et que le monument tout entier ins-crit un cercle de diamètre de 9 (en bleu)… en quadrature avec la carré initial (rouge)! Ces deux grilles sont visibles, par moitié, sur le tracé (ci-contre à gauche).

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 48 La grille de onze La grille de onze, spécifique au Cambodge, et plus particuliè-rement à Angkor, fut peu employée en Europe, au profit de la grille de quatorze, plus polyvalente (L. Rosier Les yantras, op. cit., p. 136). La réduction du carré sur 7 générations (selon 1/√2) corres-pond à la maille centrale de la grille de onze, avec une faible ap-proximation. En effet 1/(√2)7 = 1/11.3 au lieu de 1/11. L’écart est à peine de 2.8%. Le tracé de la grille de onze est assez aisé, puis-qu’intégralement « calé » sur la structure interne du carré initial (L. Rosier ibid.). L’analyse qui suit est celle de M. Stewart (Patterns of Eternity, p. 51). La grille de onze peut être générée encore plus simplement, comme indi-qué ci-contre. Fait remarquable: le rapport 11/3 est celui du diamètre Terre / Lune (12 740 / 3480), avec un écart de 0.15% ! Le schéma ci-contre représente donc la Terre et la Lune, à l’échelle… Noter encore qu’un cercle de diamètre 7 uni-tés a une demi-circonférence de 11 uni-tés, avec Pi = 22/7.

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 51 D’une grille à l’autre (3)... Le folio 12 du Compendio de Simetría de los Templos, (vers 1681-1683) montre un plan basé sur un double carré (ABCD et DCEF) et deux grilles, paire et impaire. Le carré ABCD est dupliqué et réduit 4 fois selon 1/√2. Le carré central, inscrivant l’abside du choeur - de diamètre ML - vaut 1/4 du côté du carré initial. L’oblique KO, passant par N, coupe le côté du carré à 1/6 de sa longueur (CO = 1/6 de CD). D’où une grille de six, qui doublée devient une grille de trois (carré GHIJ). De même la grille de huit, doublée, crée une grille de quatre à l’échelle du carré GHIJ. La nef centrale a la largeur du carré cen-tral (de médiane ML). Les collatéraux sont calés sur la grille de trois (cf. ligne en vio-let). L’abside est divisée en 5 parties selon les lignes de structure du tracé (obliques en ti-rets bleu clair ou bleu foncé).

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 54 Rectangle dynamique √2 G. Jouven appelle « rectangle dynamique un rectangle dont les côtés sont égaux ou proportionnels, l’un à l’unité, l’autre à la racine carrée des nombres entiers » (L’Architecture cachée, chap. IV, p. 71). En pratique, la plupart des racines utilisées dépassent rare-ment √5. Le rectangle dynamique √2 est obtenu en rabattant, à partir d’un sommet, une diagonale du carré sur l’un de ses côtés (ci-dessous, à gauche). Les rectangles suivants (√3 - 2 - √5, etc.) sont obtenus de la même manière, en rabattant une diagonale sur l’un des côtés. Ainsi un rectangle dynamique 1 x √2, par rabattement de sa diagonale (laquelle vaut - d’après le théorème de Pythagore - √3), produit un nouveau rectangle dynamique 1 x √3, et ainsi de sui-te... Ce type de rectangle se décompose en autant d’harmoniques: le rectangle √2 se partage en deux autres rectangles dynamiques √2. Il suffit de tirer les perpendiculaires à la diagonale, passant par les sommets (figure ci-contre en bas à droite). Il peut également être décomposé par le carré (ci-dessous en bas à gauche) ou à partir des médianes du rectangle (décomposition harmonique à partir du demi-rectangle: ci-dessous en bas à droite). Ci-contre : thème √2 dans le tracé régulateur du Panthéon (d’après F. Blondel, op. cit.)

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 55 Rectangle dynamique 2√2 chez Villard de Honnecourt Cette proportion largeur Un/ diagonale Trois est à la base du tracé régulateur ad quadratum du plan de l’église cistercienne représentée au folio 14: deux rectangles dyna-miques 1 x √2... La largeur de ce rectangle représentant l’unité, la diagonale mesure donc √[12 + (2√2)2]=√9= 3 unités.  Cette diagonale est divisible en 3 seg-ments égaux à l’intersection avec le quart de cercle inscrit dans chaque carré. La longueur du rectangle est aisément divisible en 3 ou 6, comme le montre la position des mains... Le rectangle dynamique 1 x 2 √2 est attesté dans les figures de « l’homme debout », ou du « mannequin », extraites des folio 18 et 19 de son Carnet (analyse de R. Bechmann, op. cit. p. 344-345). Ses propriétés sont des plus intéressantes:

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 58 L‘ « échelle de Jacob » Tracé régulateur de la faça-de de Notre-Dame de Dijon symbolisant ce passage de la Terre au Ciel. Le tracé se termine avec la Racine de neuf, aux portes du Ciel... Le triple carré - issu du ra-battement de la diagonale √9 - représente le Temple de Salomon, dont la diagonale vaut √10 (soit √(1+0) = √1 = 1). Il symbolise ce « retour à l’Unité ». Tracé réalisé par G. Barot, d’après un plan de Le Jolivet, architecte des Etats de Bourgogne, en 1762 (MS 2103, BM Dijon – fonds patrimonial). L’ « échelle de Jacob » est symbolisée par le rabattement successif de la diagonale à chaque génération d’un rectangle dynamique, à partir du carré initial, et donc du rectangle √2, dont la diagonale vaut √3 et crée - une fois rabattue - le rectangle √4, dont la dia-gonale vaut √5, etc. L’échelle de Jacob fait référence au songe de Jacob dans la Bible. « voici qu’une échelle était dressée sur la terre, son sommet touchait le ciel, et des anges de Dieu montaient et des-cendaient. » (Genèse, chap. 28)

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 60 La recherche d’une Harmonie naturelle, universelle, élabo-rée à partir de structures mathématiques - et musicales - traverse toute l’histoire de l’architecture et a inspiré profon-dément tant la pratique que la réflexion des Anciens. Nous ne reviendrons pas sur la pertinence du parallèle en-tre architecture, musique et nombres, pas plus que sur les termes du débat entre Anciens et Modernes. Se reporter aux excellentes analyses d’historiens tels que V. Zara (voir biblio-graphie), notamment l’édition critique qu’il fit, en 2017, de l’ouvrage de R. Ouvrard : Architecture harmonique, ou appli-cation de la doctrine des proportions de la musique à l’architecture (1679). Nous nous contentons d’exposer ici les fondements de cet art des Anciens et d’en restituer des tracés fondamentaux.

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 61 L’harmonie par les Nombres (1) Dès l’Antiquité gréco-égyptienne, l’idée de proportion a été associée à la notion d’harmonie (M. Paul-Henri « Les médiétés », in Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, t. 2, n°2, 1949. pp. 139-178). Les « médiétés » sont des suites de nombres permettant d’obtenir une certaine proportion entre les parties mesurées en in-troduisant un « moyen terme » auquel elles se réfèrent entre elles et par rapport à leur ensemble. Cette théorie est héritée de Pythagore et Platon (Timée, IVe s. av. J-C). La suite arithmétique– l’égalité des différences entre les termes successifs est donné par la formule (a-b) / (b-c) = a / a = 1. Ou plus simplement: b = (a+b)/ 2 Exemple: la suite arithmétique 2-4-6, de raison 2. La suite géométrique - l'égalité n'est plus entre les diffé-rences, mais entre les rapports a/b = b/c ou encore (a-b) / (b-c) = a/b = b/c. Ou simplement: b = √ac Exemple: 3-9-27, suite de raison 3 (9 = √(3x27) = √81). Il existe des variantes du type a2 - ab - b2 (4 – 8 – 16 ou 4 – 6 – 9) ou a3 / a2 b = a2b/ ab2 = ab2 / b3 (8 – 12 – 18 ou 12 – 18 -27). La suite harmonique – Platon la définit ainsi : « Le moyen dépasse le premier extrême d'une fraction de cet extrême égale à la fraction du second extrême dont il est lui-même dépassé par cet extrême » (Timée, 36 a). Ainsi les nombres 6, 4, 3, forment une médiété harmonique puisque 4 (moyen terme) surpasse 3 du tiers de 3 et est surpassé par 6 du tiers de 6. D’où les formules: (1/c) – (1/b) = (1/b) – (1/a) Ou encore : (a-b) / b-c) = a/c Soit 1/b= ½ (1/a + 1/c) Soit encore 1/b = ½ [(a+c)/ ac] Exemples : 6 – 4 – 3 puisque ¼ = ½ (9/18) = 9/36. Ou 6-3-2 ; 15-12-10, etc. Application à la théorie de la consonance musicale, ou harmonie (R. Wittkower Les principes de l’architecture à la Renais-sance, 2003 ; appendice IV) : - La suite géométrique, dans laquelle le 1er terme est au second ce que le 2nd est au 3ème (1-2-4, par ex.) donne l'octave. -La suite arithmétique, par laquelle le 2nd terme excède le 1er de la même quantité que le 3ème excède le second, (2-3-4 par ex.) détermine la division de l'octave en quinte et en quarte!

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 62 L’harmonie par les Nombres (2) -Enfin, dans la suite harmonique, la distance entre les deux extrêmes et la moyenne est une même fraction de leur propre quantité. Si l'on prend 6-8-12, par exemple, la moyenne 8 excède 6 d'1/3 de 6, et est excédée par 1/3 de 12. Or, cette proportion 6-8-12 divise l’octave en une quarte et une quinte (tandis que le propor-tion arithmétique le divise en une quinte et une quarte). La proportion musicale s'exprime ainsi : a - (a+b)/2 - 2ab / (a+b) - b. Exemple: 12-9-8-6. Les néo-pythagoriciens introduisirent cinq nouvelles mé-diétés (Nicomaque et Pappus d’Alexandrie, IIIe - IVe s. ap. J-C). Elles sont toutes basées sur la différences des extrêmes (a-c): (a-c) / (b-c) = a/c Exemple : 6 - 8- 9. (a-c) / (a-b) = a/c Exemple : 6 - 7 - 9 (a-c) / (b-c) = b/c Exemple : 4 - 6 - 7 (a-c) / (a-b) = b/c Exemple : 3 - 5 - 8 et 1- 2- 3- 5- 8- 13- 21… qui n’est autre que la suite de Fibonacci ! (a-c)/ (a-b) = a/b Exemple : 3 - 4 - 6  F. Blondel (Cours, op. cit., 5ème partie, chap. IV) privilégie les rapports 3:2 (consonance de quinte), 4:3 (quarte), 2:1 (octave), 3:1 (quinte sur l’octave), mais aussi 4:1, 9:4, 16:9, 8:3, etc. Les architectes du XVIIe s. ont excellé dans cette arithmologie où se lient rythme et architecture… (G. Jouven Rythme & Architec-ture, les tracés harmoniques, 1951 ; p. 15). Ainsi le tracé (ci-dessus) de la porte Saint-Denis, à Paris, par F. Blondel (Cours d’architecture, t. 3 ; livre XII, chap. 6 ; p. 620), abondamment commenté par Ch-E Briseux dans son Traité du Beau essentiel (t. I., 1752, p. 86 à 88), tout entier consacré à l’Art des Anciens… De larges extraits sont reproduits ci-après, avec illustrations.

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 63 L’harmonie par les Nombres (3) « La largeur de ce grand ouvrage est égale à sa hauteur, celle-ci étant divisée en six parties, l’entablement qui couronne le tout en a une. La largeur de la Porte est à la longueur de l’édifice comme 1 à 3, c’est-à-dire qu’elle en est le 1/3. Elle est en plein cintre, et sa hauteur est double de sa largeur. La largeur de chacune des piles, laquelle est égale à celle de la porte, étant partagée en huit, chacun des arrière-corps des extré-mités de ces piles a une de ces parties, et la même proportion a été donnée à chaque ailette de la porte qui est renfoncée dans un grand carré long, dont la largeur est à celle de la baie, comme 5 à 4. La hauteur des pié-destaux qui portent les pyramides placées dans le milieu des pi-les, a le quart de la hauteur de l’édifice, compris l’entablement. La largeur de leur dé est à celle de la pile comme 3 à 4. La hauteur totale de chaque piédestal est égale à la largeur du dé, cette hauteur étant divi-sée en neuf, on a donné trois de ces parties à la base, compris son socle, une à la corniche, et cinq au dé : ainsi ces trois objets sont en cette pro-portion arithmétique 1 - 3 - 5. La hauteur du socle est égale à celle de la base, et cette base étant divisée en cinq parties, le plinthe en a eu trois et les moulu-res deux. La pyramide, ses deux socles, et sa boule oc-cupent toute la hauteur, qui se trouve entre le piédestal et le dessous de l’entablement. 6

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 64 Cette hauteur étant partagée en sept parties, la pyramide en contient six. La partie restante a été divisée en douze, cinq des-quelles ont été données à la boule, et à l’amortissement sur le-quel elle est placée, quatre au premier socle, et trois au second. L’harmonie par les Nombres (4) Le diamètre inférieur de la pyramide est également deux tiers de la largeur du dé de son piédestal ; sa hauteur est à ce diamè-tre comme 1 à 3 ; et la largeur des petites portes, qui sont car-rées, a le 1/3 de celle du dé du piédestal, et leur hauteur a le double de leur largeur. » (Ch-E Briseux, ibid ). Les principaux nombres à l’œuvre forment la suite arithmétique 1 - 2 - 3 (ou 2 - 4 - 6 ; 12 - 24 - 36). D’un point de vue musical 1 à 2 donne l’Octave, 1 à 3 donne le Douzième, 2 à 3 donne la Quinte. La suite 1 – 2 – 3 donne à la fois l’Octave et la Quinte au-dessus de l’Octave. Du point de vue métrologique, la toise (1. 94904 m) vaut 6 pieds (de 32. 484 cm), de 12 pouces chacun (2. 707 cm), divisibles en 12 lignes chacun (de 2. 256 mm). Le parallèle entre architecture et musique reste un objet de dé-bat. Rappelons simplement l’opinion du R. P. René Ouvrard, que reprend d’ailleurs F. Blondel (op. cit. 5ème partie, chap. 11-12): « Nous prétendons (…) qu’il y a une telle analogie entre les proportions de la musique et celles de l’architecture, que ce qui choque l'oreille en celle-là, blesse la vue en celle-ci, et qu'un bâti-ment ne peut être parfait s'il n'est dans les mêmes règles que cel-les de la composition ou mélange des accords de la musique. Pour bien entendre cette prétention, il faut supposer ici la doctri-ne des proportions (…) C'est à savoir que toutes les harmonies ou consonances possi-bles sont renfermées dans les six premiers nombres, pris selon leur valeur de proportion, et dans les multiples de ces six pre-miers... » R. Ouvrard Architecture harmonique; 1679 ; p. 6.

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 66 Le triangle pythagoricien 3 - 4 - 5 Propriétés remarquables: Cercle de rayon 1 unité (le module) ; Triangle de côtés 3-4-5 unités, sur une grille de 4 mailles; Aire de 6 unités carrées (3x4/2); Périmètre de 12 unités;  Le Nombre d’Or est construit sur la bissectrice de l’angle obtus (voir page suivante). Il permet de tracer un cercle et un carré en quadrature (L. Rosier Les Yantras, 2013 ; p. 41). Très présent dans l’architecture, il est également utilisé sous la forme du rectangle 3 x 4 (diagonale 5), en association avec la consonance musicale de la Quarte (rapport 4/3). Autre exemple de proportion harmonieuse : le triangle égyp-tien, ou triangle d’Isis, triangle de l’arpenteur… ou triangle de Py-thagore, puisque ce dernier a - le premier semble-t-il - formulé la propriété de ce triangle rectangle: le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés… En effet 52 = 32 + 42. Il est considéré comme parfait (Plutarque Traité d’Isis et d’Osiris, livre V, chap. 56). La notion de « nombre carré » est illustrée par le quadrillage - ou grille - de 3x3 ou 4x4 ou 5x5 cases. Le tracé régulateur du bassin de l’oppidum éduen de Bibracte (Saône-et-Loire) est basé sur cette suite pythagoricienne. A. Choisy Hist. de l’architecture, t. I, 1943; p. 49-50.

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 67 Le Nombre d’Or La section dorée est la proportion continue la plus simple qui soit, à partir de deux grandeurs A et B, tel que (A+B) / A = A/B. D’où le partage asymétrique « en moyenne et extrême raison » d’une longueur donnée, exposé dans les Éléments d’Euclide (livre VI; IIIe s. av. J-C), et redécouvert à la Renaissance (L. Pacioli, etc.). V. de Honnecourt semble en avoir une connaissance assez ap-profondie (infra : folio 18). (Ci-dessus) Partage en extrê-me et moyenne raison. Cons-truction de φ à partir du Carré. Construction de φ à partir du double carré (« carré long », « carré d’argent », etc.) et de sa diagonale √5. En effet: φ = (1 + √5)/ 2 = 1. 618. Construction de φ à partir à partir du triangle 3-4-5 (Y. Jac-quier La géométrie par les yeux, p. 43). Construction de φ à partir du triangle équilatéral (et donc de la vesica piscis…): DE/EF = φ Construction de φ à par-tir du pentagone étoilé: rap-ports 1/φ et 1/φ2 (le côté valant l’unité). N.B. φ2 = 1+ φ et 1/φ = φ - 1 Le Nombre d’Or est donc souvent présent dans les tracés régulateurs, sans qu’il en soit pour autant systé-matiquement la clé ultime… Le débat reste ouvert! La Toison d’Or - rectangle φ, triangle √φ et partage en extrême et moyenne raison (Carnet folio 18 ).

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 68 « La pendule à Salomon » Le tracé de la « Pendule à Salomon » est donné par L. Rosier (Les Yantras, op. cit. p. 265): « Il s'agit, en fait, d'une trajectoire qu'on peut tracer à partir du point milieu de chacun des côtes du carré. On retrouve alors, mais pas aux mêmes rapports, les quatre petits ronds de la croix celti-que. » Tracer le cercle de fondation (C3), les quatre pétales qui construisent le carré circonscrit et la structure interne du carré (par souci de clarté: une seule-demi diagonale, en vert); Repérer l’intersection A entre la demi-diagonale et le diamè-tre; Tracer le cercle de centre A tangent au pétale ; Tracer les cercles C1 et C2 tangents ce cercle. Les rayons de C1 et C2 sont au rapport φ, tout comme ceux de C2 et C3! Cette forme est une « façon de présenter sous une apparen-ce de pendule les chiffres étant remplacés par des Signes ou Traits de Charpente ou de Coupes de Pierre » (glossaire du site des Compagnons du Tour de France des Devoirs Unis). Elle a été immortalisée par J. Vergez, charpentier et Compa-gnon du Devoir, qui a inspiré le film du même nom (réalisé par Vicky Ivernel en 1961, avec la musique de R-L Lafforgue). A Ci-dessous : bas-relief en façade de la Maison du Compagnonnage, rue de la Charpenterie, à Orléans, figurant l’« alphabet de la rainette », avec 24 signes, regroupés en 6 familles: franc, contremarque, crochet, monté, langue de vipère, patte d’oie (et croix), d’après E. Delataille Art du Trait pratique de charpente, 1887.

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 71 Division « sacrée » du carré La division sacrée du carré est basée sur √2. Il s’agit de cons-truire - à partir de chaque sommet du carré initial - le quart de cercle passant par le centre. L’intersection de ces quatre arcs avec le carré crée une nouvel-le structure interne, au centre de laquelle se dessine un carré A’B’C’D’ dont le côté mesure (√2 - 1) si le côté du carré initial ACD équivaut à l’unité. Le carré initial est décomposé en 5 carrés et 4 rectangles aux proportions basées sur √2 (cf. ci-dessous). Ce type de division est applicable au cercle et au triangle équi-latéral. Cf. T. Brunès et ses commentateurs (J. Kappraff) pour des analyses très détaillées (cf. bibliographie). Exemple du labyrinthe de Reims : restitution G. Barot / 2022 Restitution et analyse inédite: tous droits réservés, hormis citation.

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 72 Division « sacrée » du cercle La division « sacrée » du cercle est également basée sur √2. Il s’agit de construire - à partir de centres situés à l’intersection du cercle et des diagonales du carré circonscrit - le quart de cercle tangent aux médianes du carré... Ce tracé n’est autre que celui de la rosace occidentale du Sa-cré-Cœur de Dijon, construit à la fin des années Trente! Édifiée sur les plans de l'architecte parisien Julien Barbier, l'église fut consa-crée le 10 mai 1938. Elle est inscrite au titre des Monuments his-toriques depuis 2012. La cathédrale Notre-Dame de Paris offre de très beaux exem-ples de ce type de rosaces, au niveau du transept (nord-est et sud-est), à l’entrée du chœur.

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 73 Division « dorée » d’après le Carnet de V. de Honnecourt Rappel - triangles φ et √φ Triangle rectangle 1 x φ : angles 90° - 58.28° et 31.72° Triangle rectangle 1 x√φ : angles 90° - 51.83° - 38.17° Villard de Honnecourt donne deux dessins, explicitement basés sur le Nombre d’Or: la brebis … à la Toison d’Or, et le cerf (Carnet, folio 18). Le corps de la brebis est un rectangle d’Or, alors que le trace de son cou est lié à √φ. La tête et la base du cou sont partagés en “extrême et moyenne raison.” Le corps du cerf est également formé d’un rectangle d’Or, et le tri-angle de son poitrail est un triangle basé sur √φ (angle de 51.83°: voir dia-gramme ci-contre en haut). Cf. R. Bechmann op. cit, p. 340 et 341. Un triangle Phi est de côté 1 - √φ, la diagonale étant égale à φ! En effet, d’après le theorème de Pythagore: √(1+φ)=√φ2 = φ La suite des tracés apparents montre la grande maîtrise de Vil-lard de Honnecourt: le galbe du poitrail est un arc dont le rayon est la diagonale du rectangle 1 x 1/φ (en rouge). Le sommet de la tête est donné par un rayon mesurant √φ. Les segments roses sont égaux.

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 74 Partition du cercle par 3 et 5 d’après le Carnet de V. De Hon-necourt Pour tracer un pentagone, à l’équerre… donc à partir d’un carré diviser le côté du carré initial ABFG en 7, et prolonger chaque côté d’1/7 pour construire un carré similaire. Noter: AB=7, AI= 6, IB=CK=1… BJ=AH=HI=3. Le rapport des côtés du triangle rectangle IBJ est 3:1, et la va-leur de l’hypoténuse est √10… Villard de Honnecourt utilise visiblement plusieurs méthodes pour tracer des pentagones: soit par l’équerre droite, soit par l’équerre décagonale (à bords divergents), soit encore par la divi-sion en quinze par l’utilisation du triangle équilatéral (diagramme de l’homme à la faux). Se reporter aux analyses de R. Bechmann Villard de Honne-court, 1991; p. 147 et 333-334. Le dessin de « l’homme à la faux » (Carnet, folio 19) est diffi-cile à interpréter car le tracé de Villard de Honnecourt est impré-cis. R. Bechemann est également hésitant. Un tracé similaire existe a été réalisé par Dürer (Instructions… 1525). Le tracé proposé (ci-dessous) semble plus juste. Soit c le cercle inscrivant le car-ré ABCD, et c1 le cercle qu’il ins-crit. Tracer c2 - de même rayon que c1 - ainsi que le triangle équi-latéral EFG, sur c. Ce dernier cou-pe c2 en deux points, deux som-mets du pentagone inscrit! Repérer le tracé de la faux, de sa lame, de son manche... En inscrivant un second trian-gle équilatéral HIJ, sur c2, nous obtenons trois points I-K-L (K et L étant à l’intersection du trian-gle équilatéral EFG et de c2) qui divisent le côté du pentagone en 3… En répétant l’opération, nous obtenons un polygone à 15 cô-tés!

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 75 Trisection d’un angle La trisection d’un angle est un problème géométriquement in-soluble!... Néanmoins, il existe des solutions acceptables. Soit AOB l’angle considéré. Tracer C, symétrique de B par rap-port à O, de telle sorte que CB soit le diamètre d’un demi-cercle de centre O. Tracer BCD, triangle équilatéral élevé sur BC, D étant à l’opposé de A par rapport à BC. Tracer AD qui coupe BC en E. Diviser EB en trois parties égales EF, FG et GB (à partir d’un hexagone élevé sur EB). Tracer DF et DG. Déterminer les points H et I, intersections du demi-cercle avec, respectivement [DF) et [DG). Les points H et I divisent l’arc AB en 3 parties relative-ment égales, à 1.5% près (0.4° d’écart maximal). Source : P. Debart https://debart.pagesperso-orange.fr/ Remarques La trisection de l’angle, appliquée au triangle équilatéral, permet d’obtenir 1/9° de l’angle plat (π), soit 20°, donc de parta-ger un demi-cercle en 9 parties (ci-dessous à droite). Division d’un demi-cercle en 9, à partir du triangle équilatéral. L’approximation est inférieure à 1° (angle de 19.8° au lieu de 20°) Partage du demi-cercle - en 3 parties.

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 76 Partage d’un segment en n parties L’application du théorème de Thalès est ici d’un grand se-cours… Ce tracé s’apparente à celui d’une herse... Soit [AB] un segment de longueur quelconque, à diviser en n segments (ici n = 9). Tracer la demi-droite d formant un angle de 30 à 45° environ avec (AB). Choisir un intervalle [AA1] qui sera reporté n fois (ici: 9 fois). Repérer le point C, tel que [AC] = n [AA1] Tracer (CB). Tracer les parallèles à (BC), depuis A1 jusqu’à An. Ces parallèles coupent [AB] en n intervalles! Application et variante: tracé d’une plate-bande divisée en 5 claveaux : « En alliant la division d’un segment par le tracé de la herse et la division par faisceau de demi-droites issues d’un point de fuite, on construit le tracé de division des cla-veaux constituant la plate-bande (…) » Ce tracé, très utilisé à partir du XVIIème, définit les coupes des claveaux, soit en nombre pair, soit impair (clef, contre-clef, voussoir, contre-sommier, sommier), d’après P-H Leroy, Tracé de bâtisseurs 2020 ; p. 45).

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 77 Autre mode de partition… d’un chevet en 5 chapelles AC, côté du triangle équilatéral élevé sur le carré ABFE, est la dia-gonale du rectangle dynamique (1 x√3) ABCD.  BF = 1 et BC = √3, donc FC=√3- 1  DF est la diagonale du rectangle dynami-que [1 x (√3 - 1)] FCDE…  DF, hypoténuse de CDF est égale à √[12 + (√3 - 1)2] = √(5 - 2√3) Soit α l’angle aigu du triangle rectangle CDF. Cos α = CD/ED (soit côté/hypoténuse) Cosα = 1/√(5-2√3), d’où α = 36.2° L’approximation est de 0.5% seulement. La division d’un chevet en 5 chapelles est montrée au folio 15 du Carnet de Villard de Honnecourt. Le recours au triangle équi-latéral est ici encore nécessaire… Soit le carré ABCD circonscrit au cercle du chevet en ques-tion. Le triangle équilatéral ABF, abaissé à partir du côté AB, coupe le carré à environ 6/7 de sa hauteur (AE = 6/7 AD). Il suffit de prolonger EO pour obtenir le sommet I. Faire de même avec GO pour obtenir le point J. D’où le pentagone et le décagone. L’écart angulaire est de 2/10°. Si DF mesure 20m, DC mesure 16.14 m au lieu de 16.18 m. L’écart est de 4 cm (0.25%), ce qui est très satisfaisant. J

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 78 Partition du cercle en 7 d’après le Carnet de V. de Honnecourt Villard de Honnecourt propose deux dessins où la division d’un cercle en 7 parties - donc la construction d’un heptagone - est utilisée. Il s’agit de « l’homme au fléau » (folio 18) et de « l’homme à l’épée » (folio 19). Ces dessins ont été analysés par R. Bechmann (op. cit., p. 333 et 343). Dans le dessin de « l’homme à l’épée », c’est cette dernière qui est parallèle à la médiatrice d’un côté de l’heptagone. Le dessin de « l’homme au fléau » donne le tracé de l’heptagone tel qu’il est présent chez Dürer (Instructions…, 1525), c’est-à-dire à partir du demi-côté du triangle équila-téral. La méthode est simplissime: inscrire un trian-gle équilatéral dans le cercle; tracer un quart de cercle à partir d’un des deux som-mets de la base. Son rayon est égal au demi-côté du triangle. L ’ i n t e r s e c t i o n avec le cercle donne le 1er sommet ! Le tracé ci-dessus est basé sur le triangle équilatéral abaissé sur le côté du carré circonscrit au cercle. C’est une alternative à celle reproduite ci-contre.

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 79 La méthode est très simple: Tracer le carré exinscrit au cercle (ou au demi-cercle); Abaisser un triangle équilatéral à partir d’un côté du carré; Les intersections du triangle et du cercle sont deux sommets de l’heptagone recherché! Partition du cercle et du demi-cercle en 7 parties Le plan de l’église donné par Villard de Honnecourt (Carnet, folio 15) fournit une très belle illustration de ce procédé. La pointe du triangle équilatéral définit la largeur du transept: sa largeur correspond en effet à la hauteur du triangle équilatéral moins le rayon de l’abside… De là, la largeur des bas-côtés, du déambulatoire, etc. La clé du tracé réside dans le mode de partition de l’abside en 7 ! AVERTISSEMENT - le tracé ci-dessus est une simple hypothè-se de restitution car l’original de V. de Honnecourt est particuliè-rement irrégulier et donc très difficile à analyser en l’état!

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 80 Division pratique par l’équerre à bords divergents A. Sené et N. Wu (voir bibliographie) ont étudié les représenta-tions d’outils du XIe au XIIIe s. Sur 23 documents, l’équerre est présente 20 fois, contre 9 pour le compas, lequel est figuré plus tardivement. Ainsi, lorsque V. de Honnecourt trace un pentagone à l’équerre, semble-t-il, Dürer le trace au compas… L’originalité de ces équerres est de présenter des bords non parallèles, donc de largeur inégale, avec des angles internes et externes différents. Sous l’apparence d’un seul instrument, il s’agit en fait de deux équerres! Les exemples les plus connus sont : la pierre tumulaire d’Hugues de Libergier, maître d’œuvre de Saint-Nicaise de Reims (après 1263); l’écoinçon central des stalles méridionales de la ca-thédrale de Poitiers (1270); ou encore le Carnet de Villard de Hon-necourt. Voir également : P. A. Garnier « la plate-tombe du compagnon inconnu... » (église de Belleville-en-Beaujolais), In: Le Compagnon-nage, n° 833, 2023/2 ; éd. Union Compagnonnique, Versailles, ; p. 35-37). L’équerre d’Hugues Libergier permet de tracer: Le triangle équilatéral: angles de 30° et 60° Le triangle 31. 3° et 58. 3° (au lieu de 31. 44° et 58. 16°), dont les côtés sont en rapport φ. Un compas de proportion - au nombre d’or ?- est également figuré. Pierre tumulaire d’Hugues Libergier: propriétés angu-laires de l’équerre figurée. Propriétés angulaires de l’équerre de Poitiers. L’équerre de l’Architecte de Poitiers est une équerre décagona-le, présentant des angles proches de 36° et 54°, soit π/10 et son angle complémentaire. Ce type d’équerre permet assez facilement de tracer un penta-gone ou de diviser une abside en 5 parties, en tolérant une cer-taine approximation. Rares sont les monuments géométriquement parfaits! Les équerres de Villard de Honnecourt sont décagonales, do-rées ou liées au triangle équilatéral...

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 81 Équerre et rectangle harmonique 1 x √2 M-T Sarrade (op. cit. p. 46 à 51) a analysé d’intéressantes équerres permettant de tracer des rectangles harmoniques de rap-port 1 x √2. L’équerre de Niederhalslach (Bas-Rhin, fin XVe s.?) présente des branches externes mesurant 46 x 34.4 cm, donnant ainsi la « quarte » (rapport 4/3), tandis que ses branches internes mesu-rent 39 x 26 cm, côtés potentiels d’un rectangle 3 x 2 (de propor-tion 3/2, soit une « quinte »). Utilisation de l’équerre à partir de son côté long ou de son côté court de l’équerre. Les cavets creusés aux extrémités permettent d’utiliser différentes longueurs. L’angle interne, d’environ 1.3°, suit une pente d’1/39° (par retrait d’1 cm sur la longueur de la bran-che interne, mesurant 39 cm), ce qui est suffisant pour tracer la dia-gonale d’un rectangle 1 x √2! Restitution du tracé régulateur de l’équerre de Niederhalsbach, à partir de la structure interne du carré: les côtés externes des branches mesurent respective-ment 2/3 et 1/2 du côté du car-ré. Les branches internes sont dans un rapport 3/2. La largeur des branches mesure 1/14 du côté du carré, réduite - à une extrémité - à 1/12 pour créer l’angle intérieur. Restitution inédite : G. Barot

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 82 Équerre et rectangle harmonique 1 x √2 : suite et fin Il apparaît qu’une telle équerre est construite sur une grille de 12 mailles carrées (issues de la structure interne du carré, en « A de Charlemagne »). Elle peut être tracée en 5 étapes (a, b,... c ) !... La divergence des côtés est obtenue en enlevant 1/12° ou 1/6° à la largeur des branches de l’équerre. La pente obtenue est alors de 4.76°, ce qui correspond exactement à l’angle que forme le rectangle 1 x √2 avec le rectangle 3 x 2 ! Les branches mesurent respectivement la moitié et les 4/5 du côté du carré. Restitution inédite par G. Barot Géométrie Sensible© 2022 M-T Sarrade (op. cit. p. 46 à 51) a analysé d’intéressantes équerres permettant de tracer des rectangles harmoniques de rap-port 1 x √2 : soit directement à partir d’une équerre dont les branches sont en rapport 1/√2 (comme sur une pierre tombale à Aussac, en Charente), soit indirectement, à partir d’une équerre dont les branches non parallèles présentent un angle de 5° env., comme à Ligné-des-Bois, en Charente (équerre datée du XIIe s.). R. Bechmann (op. cit. p. 194) en donne une représentation, que la restitution ci-dessous - par ailleurs inédite - a cherché à forma-liser à partir de la structure interne du carré.

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 83 Division pratique par l’équerre 3-4-5 L’une des propriétés du triangle 3-4-5 est d’offrir un angle aigu proche de π/10 (36.87° au lieu de 36°, soit une approximation de 2.4%) et un angle obtus relativement proche de π/7 (53.13°, au lieu de 51.43°, soit un écart de 3%). L’utilisation du triangle pythagoricien a pu permettre de réaliser des épures au sol et de fournir au moins des premiers repères. Appliquée aux tracés laissés par Villard de Honnecourt, cette hypothèse donne des résultats intéressants, notamment pour la partition d’un chevet en 5 ou en 7. Bien-sûr le tracé de Villard de Honnecourt n’est pas suffisam-ment précis ni régulier; ce qui amplifie peut-être l’irrégularité in-duite par l’emploi d’une équerre 3-4-5. Restitution par l’auteur (G. Barot - 2021) Les proportions 3-4-5 sont pertinentes sur ce plan de chevet d’église à 5 sections (folio 15). La partition en 5 semble suivre exactement le modèle proposé... La partition du chevet de l’église en 7 (folios 15 et 17) sem-ble également suivre ce modèle. V. de Honnecourt Folio 18

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 85 Partage d’un segment ou d’un cercle Inscription d’un poly-gone dans un cercle, d’après N. Bion (Traité de la construction et des principaux usages des instruments de mathéma-tique, 1709 ; livre I, chap. I, usage XVII): tracer le segment AB et le diviser en autant d’intervalles q u e d e b e s o i n (approximation satisfai-sante jusqu’à 8 interval-les ). Ci-contre: exemple de division d’un segment en 7 intervalles. Tracer le cercle de centre O et de diamètre AB. Tracer les arcs de cercle centrés successivement en A puis B, de rayon AB. Ces arcs se coupent en C. Tracer CD passant par O’, tel que AO’ = 2 parties (ou intervalles). AD est alors le 1er côté de l’heptagone. Méthode idéale pour tracer tout polygone à partir d’un seg-ment divisé en autant d’intervalles que de côtés recherchés. CD coupe toujours AB en 0’ (toujours à 2 unités à partir de A, tel que A0’ = 2, quel que soit le nombre d’intervalles). Le 1er côté est AD. Excellente approximation jusqu’à l’octogone. Au-delà (cf. mé-thode de M. Tempier - 1819-1905), CD doit couper AB à 2 inter-valles - non plus de A - mais du centre O, tel que OO’ = 2. Tracer le 1er côté qui sera DE (et non plus AD). La structure interne du carré - les « A de Charlemagne » - per-met de partager immédiatement un segment en 3 ou 5 parties. Le triangle équilatéral - abaissé à partir du côté du carré - donne la division en 7. Division en 7 Division en 5 Division en 3

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G. Barot Fondements de la Géométrie pratique / Géométrie Sensible© 2022 86 Division d’un segment en 3 - variantes L’une des méthodes les plus simples - en dehors de la configu-ration de Thalès basée sur des parallèle équidistantes - est d’utiliser les médianes d’un triangle quelconque - ou plus simple-ment encore d’un triangle rectangle - en s'appuyant sur la pro-priété du centre de gravité, lequel est situé au 2/3 de la médiane (en partant du sommet). Soit [AB] le segment à partager; tracer le triangle rectangle ABC, et son symétrique ADB ; repérer E, milieu de [BC]. La médiane [ED] coupe [AD] en F au tiers de [AB] J N.B. [AB] n’est autre que la médiane du triangle isocèle BCD!... Une autre variante consiste à utiliser - en partie seulement ! - de la structure interne d’un carré ABGH élevé sur [AB].  En B, élever une perpendiculaire et repérer H, de telle sor-te que BH = BA; Repérer E et J, tel que BE = BA / 2 = BJ ; Tracer AE et HJ, médianes du triangle BAH… Leur intersection, en I, détermine le tiers du segment, de telle sorte qu’EI = EA / 3 et BF’ = BA / 3 Repérer F, symétrique de F’ par rapport à J.

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