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PREFACE En qualit de directeur actuel de ce qui restera toujours pour nous au fond de nos c urs jeunes l Ecole Nationale du Cadastre c est avec une grande fiert et un grand enthousiasme que j ai accept de griffonner quelques lignes en guise de ce qui voudrait s apparenter une pr face pour ce magnifique ouvrage Tout d abord c est parce que comme beaucoup d entre nous c est dans cet tablissement que j ai appris puis pris norm ment de plaisir mesurer des morceaux de terre selon les m thodes diverses qui nous ont t enseign es Alors comment r sister la lecture de ce bel ouvrage sur la mesure de la terre par l abb Picard qui apr s les Grecs les astronomes et g ographes arabes fut un des premiers fran ais se pencher sur ce sujet En effet d s 1668 il d cida de mettre en uvre une op ration de g od sie de grande envergure mesurer par triangulation un arc m ridien entre Amiens et Paris Il ne d cida bien s r pas a tout seul dans son coin mais c est gr ce la volont de Colbert qui 2 ans plus t t cr a l Acad mie des sciences afin que la France puisse enfin disposer de cartes plus pr cises plus exactes pour pouvoir notamment s appuyer sur des outils plus fiables pour l am lioration de la gestion de l am nagement du territoire qu il se lan a dans ces travaux Alors Picard n est certes pas l inventeur du principe de la triangulation mais il est sans doute le premier l avoir appliqu concr tement sur le terrain pour la mesure d un arc de cette longueur D un point de vue technique il construisit une cha ne de treize triangles en partant d une base mesur e sur le terrain une deuxi me base permettra une v rification et compl t e par des mesures d angles partir de points visibles les uns des autres tours clochers Ayant calcul la longueur totale de l arc il ne reste plus qu mesurer la latitude aux extr mit s pour savoir de quelle fraction de m ridien il s agit Ce qui est encore plus remarquable c est que Picard va concevoir lui m me ses instruments de mesure et sera le premier utiliser une lunette munie d un r ticule pour ses travaux Alors un norme merci Daniel Violland qui fut enseignant dans notre cole de 1986 1993 pour nous rem morer ces travaux mais surtout pour les avoir si brillamment illustr s et compl t s
PREFACE En qualit   de directeur actuel de ce qui restera toujours pour nous, au fond de nos c  urs jeunes, l Ecole Nation...
Et merci galement notre ami Jean Yves LAVAL d avoir imm diatement compris l int r t de la publication d un tel ouvrage pour nous tous et d en avoir assur concr tement la r alisation Excellente lecture tous en souhaitant que vous prendrez autant de plaisir que moi parcourir ce passionnant ouvrage Jean Philippe LACOU Directeur de l tablissement de Toulouse de L Ecole Nationale des Finances Publiques
Et merci   galement    notre ami Jean-Yves LAVAL, d avoir imm  diatement compris l int  r  t de la publication d un tel ou...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Jean PICARD n La Fl che Sarthe en 1620 et mort Paris en 1682 Les r sultats des dimensions de la terre qu il a tablis en 1670 ont t utilis s par Newton en 1684 pour v rifier sa loi sur la gravitation R sum descriptif et explicatif de la mesure du degr de m ridien terrestre par l abb PICARD au XVII me si cle entre PARIS et AMIENS Indications g n rales Un tableau de conversion des unit s de longueur se trouve en page 5 Les parties de l expos crites en bleu et encadr es en marge gauche pour une dition noir blanc sont des d veloppements th oriques ext rieurs au r cit de l abb PICARD mais n cessaires pour le comprendre En annexe des extraits du document source examin ainsi que les planches graphiques qui lui sont associ es sont reproduites Les tables des mati res et des figures sont en fin d ouvrage 1
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Jean PICARD, n      La Fl  che  Sarthe  en 1620 et mort  ...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD INTRODUCTION D FINITION G OM TRIQUE ET CONTEXTE HISTORIQUE Au 4 me si cle avant J C le philosophe grec Aristote d termina l id e pr cise de la sph ricit de la terre La m thode g om trique d crite et expliqu e ici consiste mesurer sur la terre la longueur d un arc de m ridien qui corresponde un angle au centre donn en l occurrence ayant la valeur de 1 pour standardiser la mesure Notations s arc de m ridien angle au centre de l arc s 1 Au 16 me si cle en 1528 Jean FERNEL qui sera le m decin du roi Henri II en 1547 parcourt depuis Paris une route droite vers le Nord jusqu ce qu il constate une diminution de la hauteur de culmination du soleil qui corresponde une augmentation de latitude de 1 Au retour il mesure cette m me distance en comptant le nombre de tours de roue du coche qui le transporte qui s tablit 56746 toises Au 17 me si cle en 1670 l abb PICARD membre de l acad mie royale des sciences mesure la longueur du degr de l arc de m ridien terrestre entre Paris et Amiens en innovant par le mesurage g om trique des longueurs et par la mesure des angles g od siques et astronomiques au moyen de lunettes rempla ant les Figure 1 vis es l il nu au travers de simples pinnules A l issue de ses travaux il tablit la valeur du degr de m ridien terrestre 57060 toises La sph ricit de la terre est reconnue imparfaite mais si les CASSINI p re et fils pensent que la terre est allong e aux p les NEWTON croit au contraire qu elle est renfl e l quateur et aplatie aux p les Il va de soi que les esprits clair s du 18 me si cle qui sera dit le si cle des lumi res ne pouvaient supporter une telle ind cision et nous comprenons aujourd hui encore qu ils mirent 2
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  INTRODUCTION   D  FINITION G  OM  TRIQUE ET CONTEXTE HIST...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD alors en uvre de grandes op rations leur permettant d avoir le c ur net sur la forme exacte et les dimensions de la terre A cet effet l acad mie des sciences qui avaient t cr e en 1666 par COLBERT ministre de Louis XIV d cide en 1736 d envoyer deux quipes distinctes de savants astronomes qui auront pour mission de mesurer la longueur du degr du m ridien terrestre en diff rents endroits de la terre L ordre du roi Louis XV est transmis par son ministre le Comte de MAUREPAS qui sera plus tard en 1749 disgraci aupr s du roi Louis XV cause de la tr s influente Marquise de Pompadour mais que le roi louis XVI appellera pour diriger son conseil lors de son accession au tr ne en 1774 d une part MAUPERTUIS CLAIRAUT CAMUS le MONNIER et de KERMADEC qui doivent se rendre pr s du p le nord en Laponie et aussi v rifier la mesure de l abb PICARD entre Paris et Amiens Ils tabliront la longueur du degr de m ridien terrestre 57438 toises au p le et 57183 toises entre Paris et Amiens et d autre part la CONDAMINE BOUGUER et GODIN qui doivent aller sur l quateur au P rou Ils tabliront quant eux la longueur du degr 56749 toises L amplitude de l arc de m ridien mesurer sera d termin e par la diff rence des latitudes de chacune de ses deux extr mit s La latitude est l angle form dans le plan du m ridien entre le plan de l quateur et la verticale du lieu En effet l op rateur Figure 2 pourra facilement mat rialiser une ligne verticale au moyen d un fil plomb tandis qu il lui serait impossible d appr hender un 3
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  alors en   uvre de grandes op  rations leur permettant d ...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD rayon qui relie le centre de la terre au lieu d observation Mais la terre se r v lant tre un ellipso de la verticale en un lieu de sa surface ne passe pas par son centre Le r sultat trouv d un degr de m ridien plus long au p le implique que le rayon de courbure de la terre y soit plus grand Or c est forc ment pour la forme d une ellipse qu un rayon de courbure plus grand correspond une partie situ e au voisinage de l extr mit de son petit axe MAUPERTUIS d montre ainsi d finitivement l aplatissement de la terre au p le Le compte rendu d taill des travaux de l abb PICARD qui permet de donner ici un r sum des m thodes qu il a utilis es et de leurs justifications est contenu dans le discours que MAUPERTUIS lut devant l assembl e de l acad mie des sciences le 5 d cembre 1739 apr s l aboutissement de sa mission Il tait tr s tentant de r sumer aussi les travaux de Jean FERNEL dont il a lui m me rendu compte dans son ouvrage Cosmotheoria datant de 1528 mais ce dernier est crit en latin Il faut dire que c tait en effet avant l affirmation de la primaut du fran ais sur le latin par le roi de France Fran ois 1er en 1539 Nous sommes en France en 1670 au trait d Aix la Chapelle marquant la fin de la premi re guerre dite de d volution d Espagne le roi Louis XIV conserve la Flandre m ridionale mais renonce la Franche Comt qu il avait pourtant conquise Le roi exerce son pouvoir absolu Colbert est son contr leur g n ral des finances et Vauban construit de nombreuses fortifications Pierre Paul RIQUET fermier g n ral de Languedoc vient de commencer les travaux de creusement du canal du Midi les finan ant avec ses fonds personnels en attendant la participation du royaume 4
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  rayon qui relie le centre de la terre au lieu d   observa...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Les travaux entrepris par l abb PICARD consistent en Figure 1 p 2 1 re partie Mat rialisation mesure de l arc de m ridien 2 me partie Mesure de l angle au centre de cet arc de m ridien 3 me partie Longueur de l arc correspondant un angle de 1 4 me partie D duction des latitudes et longitudes 5 me partie Il y avait une m thode plus simple mais 6 me partie Application de ces r sultats pour le nivellement 7 me partie Allons au XXI me si cle en passant par le XX me Les unit s employ es sont pour les longueurs la toise du Ch telet de Paris et ses sousmultiples ci dessous d taill s avec leur correspondance en m tres et sous multiples et pour les angles les degr s sexag simaux 1 toise 6 pieds 1 pied Soit 1 949 m 32 483 cm 12 pouces 1 pouce 12 lignes 2 707 cm 2 255 mm Les quantit s mesur es sont des distances en ligne droite entre 2 points et les angles entre 2 directions g od siques lorsque les points vis s sont sur terre et astronomiques lorsque l on vise les toiles Ainsi pour les angles les calculs suivent les principes de la trigonom trie plane pour les vis es g od siques la somme des 3 angles d un triangle tant alors gale 180 et ceux de la trigonom trie sph rique pour les vis es astronomiques la somme des 3 angles d un triangle sph rique exc dant alors 180 Les distances sont mesur es au moyen de barres de bois talonn es par mises bout bout successives align es gr ce un cordeau 5
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Les travaux entrepris par l   abb   PICARD consistent en ...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Les angles entre points g od siques sont observ s avec l instrument dit Quart de cercle dessin sur la planche I ci jointe Il est distinctement mont et mis en uvre pour les mesures respectives d angles horizontaux ou verticaux Sa structure m tallique en quart de cercle sch matis e ici Figure 3 caract ris e par son centre A et son arc de circonf rence BC gradu Limbe est munie de deux lunettes dont l une FE est fixe et l autre HG est mobile la mani re d un rayon son extr mit comportant l oculaire glisse sur le limbe gradu en tournant autour de son centre Le rayon du quart de cercle est de 38 pouces Cela signifie donc que le rayon vaut 102 9 cm soit une longueur du quart de circonf rence de 161 6 cm c est dire un espacement de 1 8 cm entre 2 divisions pour 1 et donc 1 8 mm pour 6 L abb PICARD nous dit que le limbe est divis jusqu en minutes tr s Figure 3 distinctes ce qui signifie donc un espacement de 0 3 mm entre 2 traits Il ajoute que la pr sence d un cheveu ou fil d argent tendu dans le petit ch ssis de l alidade permet de distinguer le de minute au moyen d une loupe De ces 15 il ram ne m me la pr cision de sa mesure 10 Un mod le graphique de la graduation du limbe est montr sur cette planche I G om triquement le quart de cercle BAC est virtuel car pour une simple raison d encombrement la lunette fixe FE est l g rement d cal e parall lement BA et la lunette HG est solidaire d une alidade dont le prolongement du biseau de la r gle passe par le centre A Le positionnement pr cis du point C r alisant la condition g om trique de l angle BAC rectangle en A sera montr par l abb PICARD au chapitre venir sur la v rification des instruments employ s 6
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Les angles entre points g  od  siques sont observ  s avec...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD PREMIERE PARTIE MAT RIALISATION DE FIGURES G OM TRIQUES ENTRE PARIS ET AMIENS D FINITION ET CALCUL DE LA LONGUEUR D UN ARC DE M RIDIEN Une cha ne de triangles accol s est tablie depuis le lieudit Malvoisine sur le territoire de la paroisse de Chanque l Aujourd hui commmune de Champcueil d partement de l Essonne code postal 91750 jusqu Sourdon D partement de la Somme 22 km au sud d Amiens avec par cons quent une orientation g n rale du sud vers le nord qui est proche de celle d une ligne m ridienne Voir planche II du document original cijointe Une telle construction g om trique poss de l immense avantage de permettre de propager par le calcul la d termination des longueurs des c t s en ayant seulement mesur physiquement la longueur d un premier c t appel base fondamentale sous la r serve de devoir aussi mesurer physiquement un c t en fin de cha ne qui sera une seconde base permettant un contr le Le principe du calcul d une grande longueur partir d une telle cha ne de triangles a t invent par le hollandais Snellius en 1617 Afin de faciliter les op rations de mesurage de longueur la base fondamentale est choisie sur le chemin pav en ligne droite de Villejuive point A Juvisy point B Deux barres de bois de Figure 4 pique de 4 toises chacune sont mises bout bout par jonctions successives Le mesurage global de ce c t AB r it r par un aller retour donne 2 r sultats tr s concordants respectivement de 5662 toises 5 pieds et 5663 toises 1 pied dont la moyenne de 5663 toises est bien entendu aussit t retenue 7
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  PREMIERE PARTIE MAT  RIALISATION DE FIGURES G  OM  TRIQUE...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Connaissant les angles du triangle g od sique ABC pour les avoir observ s avec l appareil quart de cercle et la distance AB qui vient d tre recueillie la relation des sinus dans un triangle quelconque s crit pour le triangle ABC AC Sin B AB Sin C soit AC Sin B AB Sin C Observations angulaires du triangle ABC Sommet A 54 4 35 B 95 6 55 C 30 48 30 180 00 00 AB mesur e 5663 toises Sous r serve de convertir B et C en degr s d cimaux soit ici B 95 1152777 et C 30 8083333 notre calculatrice moderne nous donne AC 11012 88725 toises soit AC 11012 toises 5 3 pieds arrondi 11012 toises 5 pieds Attention L abb PICARD ne poss dant pas de calculatrice lectronique a d passer par la table de logarithmes et crire pour trouver la longueur AC que log AC log AB log sin B log sin C et ainsi ayant trouv log AC en d duire la longueur AC elle m me D sormais la connaissance de la longueur AC peut tre r employ e de la m me fa on dans le triangle ADC et permettre d en d duire la longueur DC qui servira son tour dans le triangle CDE pour trouver les longueurs DE et CE puis dans le triangle CDF pour trouver la longueur DF qui conduira elle la longueur DG dans le triangle DFG 8
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Connaissant les angles du triangle g  od  sique ABC pour ...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Le m me processus est continu dans cette cha ne de triangles se dirigeant vers le nord la condition d organisation de la figure tant que le 3 me sommet d un triangle suivant soit visible depuis 2 sommets du triangle pr c dent A ce stade Figure 4 p 7 le but poursuivi est de trouver la longueur EG qui aurait pu avec peut tre des difficult s pratiques d couler de l observation du triangle DEG mais l abb PICARD r sout il a t facile de conclure la distance GE sans supposer aucune nouvelle observation car dans le triangle DEG l angle D est connu comme gal la somme de 3 angles d j observ s et les longueurs DE et DG ont t calcul es La longueur GE sera en effet telle que GE2 DE2 DG2 2 DE DG cos GDE Formule liant 1 angle et 3 c t s d un triangle quelconque Il va de soi que particuli rement pour les pointes de clochers qui les mat rialisent les sommets des triangles ne permettent pas le plus souvent l installation physique du quart de cercle strictement au dessus d eux pour y observer les angles Cette difficult a t chaque fois anticip e au moment de la vis e faite de loin sur un tel sommet en appr ciant le nombre de minutes et de secondes correspondant la grosseur de l objet vis Le soin et l empirisme apport s par l abb PICARD ses travaux ressortent particuli rement dans sa mani re d assurer des contr les de ses op rations Ainsi il voque que dans certains cas la somme des 3 angles des triangles observ s diff rait de 180 et il r sout en solution qu il corrigeait sans crainte de se tromper l angle dont il n tait pas aussi assur que les autres Notre poque est devenu plus normative Bien que la longueur du c t GE soit d j d termin e comme dit ci dessus l abb PICARD souhaite se m nager des v rifications et observe le triangle DGE lui occasionnant une tr s longue vis e GE qui n cessita que des feux soient allum s chaque extr mit respective c est dire Mareuil et Malvoisine Cette circonstance amena l abb PICARD une constatation surprenante en ce moment des premi res observations g od siques au moyen de lunettes Au passage il faut pr ciser que l axe optique d une lunette est la ligne droite qui relie le centre optique de l objectif avec la crois e des fils du r ticule 9
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Le m  me processus est continu   dans cette cha  ne de tr...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Le fil de soie constituant le r ticule plac au foyer de l objectif de la lunette mesure 1 1300 pouce soit 0 02 mm la longueur de la lunette tant de 36 pouces soit 97 4 cm la cons quence angulaire de cette neutralisation de la vue par ce fil minuscule est donc de Figure 5 1 1300 36 180 60 60 4 Or le feu allum Mareuil mesurant environ 3 pieds de largeur soit un peu moins de 1 m et tant vu depuis Malvoisine situ 31897 toises soit 62 1 km emporte une cons quence angulaire de 3 31897 6 180 60 60 3 14 ou 3 23 de telle sorte que d apr s le calcul le fil de soie aurait d recouvrir tout le feu alors qu en fait il ne le cachait qu moiti L abb PICARD en conclut qu au travers d une lunette les objets lumineux paraissent plus gros qu ils ne le sont r ellement La succession des calculs de longueurs par les triangles encha n s conduit la valeur de 6036 toises 2 pieds pour le c t LM qui est aussi ind pendamment calcul partir de la mesure physique d une seconde base XY pour la valeur de 6037 toises mettant donc en vidence un cart de seulement 4 pieds Voir planche II p 63 Les 3 c t s EG GI et IN joints bout bout quasiment orient s plein nord mais constituant cependant g om triquement une ligne bris e ont d sormais leurs longueurs calcul es que l abb PICARD modifie l g rement pour tenir compte de diverses v rifications men es dont le mesurage de la seconde base XY pour finalement les fixer respectivement EG 31895 toises GI 17564 toises et IN 18907 toises Figure 6 10
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Le fil de soie constituant le r  ticule plac   au foyer d...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD L abb PICARD compl te cette ligne bris e situ e au voisinage du m ridien par 2 rattachements tr s embl matiques et importants au moyen de nouvelles observations angulaires en constituant des triangles adoss s la cha ne principale Les fl ches des cath drales d Amiens et de Paris sont ainsi incluses dans la construction g om trique Figure 6 p 10 La r f rence de la cath drale d Amiens lettre V renvoie la mesure de FERNEL au 16 me si cle et celle de Notre Dame de Paris lettre S s impose par son prestige La longueur d un arc de m ridien proprement dit sera d duite des caract ristiques de la ligne bris e ainsi compl t e pr c demment calcul es L abb PICARD retient la ligne m ridienne virtuelle passant par le clocher de Sourdon point N trac e en traits tiret s sur la Figure 7 recevant sur elle m me les projections des sommets des triangles constitu s et mat rialis s sur le terrain Par exemple depuis le point I on abaisse la perpendiculaire I sur le m ridien passant par N C est donc par le calcul que seront d termin es les distances des segments reliant ces projections et finalement leur somme fournira la longueur d un arc de m ridien Arc not s sur la Figure 1 p 2 dont il restera enfin d terminer l amplitude Angle not e sur cette m me Figure 1 Attention ce faisant l abb PICARD agit avec des constructions et par la suite des formules de g om trie plane alors qu il rel ve ses mesurages et en applique les r sultats sur des lignes courbes Figure 7 11
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  L   abb   PICARD compl  te cette ligne bris  e situ  e au...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD La Figure 8 montre le d tail du triangle rectangle V N constitu en fait o pour le grand c t de l angle droit N d une partie du m ridien de N o pour le petit c t de l angle droit V d une partie du parall le de V o et pour l hypot nuse VN d une partie du grand cercle de la terre passant par ces deux points V et N Mais on pourra facilement v rifier qu il a raison de s en affranchir tant les longueurs des c t s sont petites par rapport au rayon de la terre Cette remarque am ne se Figure 8 r f rer un principe fondamental L abb PICARD mesure calcule et analyse dans son entreprise des l ments de g om trie dans l espace et donc ni il cartographie ni il donne de repr sentation plane Le seul tonnement que l on peut manifester ici est que l abb PICARD n ait pas mentionn cette nuance g om trique alors que dans les autres cas de l gitimes assimilations ou approximations il nous a soigneusement pr venus et rassur s 12
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  La Figure 8 montre le d  tail du triangle rectangle V  N ...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD La Figure 9 donne une autre repr sentation de l azimut de la direction NV en pla ant le sch ma dans le plan m ridien du point N et recueillant l angle azimutal Az dans le plan de l horizon Nord O Vh On y remarque cette occasion la latitude N du point N correspondant par d finition l angle dans le plan m ridien que fait le rayon ON avec le plan de l quateur Dans ce m me plan m ridien cet angle N se retrouve l identique en nature de la hauteur du p le angleFigure 9 P O Nord form par l axe des p les avec le plan horizontal Dans ce plan m ridien de N ces deux angles sont gaux car leurs c t s sont respectivement perpendiculaires On en profitera pour remarquer qu en tout point de latitude le plan de l horizon forme avec le plan de l quateur l angle de 90 Le rayon de la terre R est li s et par la formule Pour m moire voir Figure 1 p 2 S R o l angle est exprim en radian d o l on tire R S rd 13
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  La Figure 9 donne une autre repr  sentation de l   azimut...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Sur le m ridien passant par N Figure 7 p 11 la longueur de l arc sera obtenue par l addition des longueurs des arcs N N et Puisque par d finition le m ridien est orient plein nord la d termination de l orientation de chaque c t de la ligne bris e comme par exemple celle du c t NI permettra la suite de r soudre le triangle rectangle NI et ainsi de calculer la longueur N L orientation de chaque c t de cette ligne sera fix e par son azimut c est dire par l angle que ledit c t forme dans le plan horizontal azimutal avec la direction du nord g ographique Les g ographes et les marins d terminent l azimut partir du p le nord alors que les astronomes retiennent le p le sud Nous sommes avec l abb PICARD dans le camp des g ographes et l azimut sera donc compt partir du nord Sur la Figure 8 p 12 dessin e en perspective l azimut de la direction NV est repr sent dans le plan horizontal tangent la sph re en N plan azimutal et donc perpendiculaire au rayon ON par l angle di dre NV form par le plan m ridien de N avec le plan VNO du grand cercle contenant la ligne g od sique NV Comme les angles form s entre les c t s cons cutifs de la cha ne de triangles ont t observ s sur le terrain l op ration venir consiste orienter gr ce aux toiles un c t de la ligne et d en d duire ensuite les orientations des autres L abb PICARD choisit de d terminer l orientation du c t GI Figure 7 Figure 10 p 15 en stationnant le point du tertre de Mareuil G et en y visant l toile polaire Pour ce faire il r sout l nigme du mode op ratoire n cessaire pour associer la mesure des angles horizontaux azimutaux entre deux directions partant de G qui sont mat rialis es respectivement par le point I clocher Saint Sanson de Clermont visible de jour et l toile polaire visible de nuit 14
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Sur le m  ridien passant par N,  Figure 7 p 11  la longue...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Le plan du quart de cercle est rendu vertical Planches I et III la lunette fixe FE est horizontale tandis que la lunette HG mobile dans le plan vertical gr ce l alidade dont elle est solidaire vise l toile polaire en la suivant jusqu son d placement maximal vers l est Digression orientale qui doit tre ici aussit t expliqu e en apart Cet arr t de la course de l toile polaire vers l est constat au moyen du fil vertical de la lunette donne aussit t lieu au blocage de l appareil pour figer la position de ce plan vertical recueillie de nuit et ainsi tre en mesure de revenir de jour le lendemain matin constater au moyen de la lunette FE horizontale quel point mat riel du terrain loign vers l horizon correspond ce plan vertical particulier Ledit lendemain matin le quart de cercle est install au m me endroit mais cette fois avec son plan rendu horizontal la lunette fixe FE visant le point I et la lunette mobile permettant de lire l angle horizontal azimutal de 4 55 que fait avec elle la vis e sur ce Figure 10 point loign particulier rep r la nuit pr c dente Figure 10 Apart sur la digression maximale de l toile polaire qui permet d en d duire son azimut ce moment pr cis L toile polaire fait pour nous partie a fortiori des toiles dites circumpolaires C est dire qui sont toujours visibles et donc qui ne se couchent jamais En fait cette toile polaire qui nous montre commun ment la direction du p le nord c leste ne lui co ncide pas parfaitement et lui tourne donc autour en d crivant un cercle Il faut donc bien distinguer le point P d signant la position g om trique du p le nord g ographique du point E d signant l toile qui en est notre poque la plus proche 15
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Le plan du quart de cercle est rendu vertical  Planches I...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Que le lecteur pardonne cette homonymie de notation car le point E d fini ici s inspire de la 1 re lettre du mot toile comme elle est dessin e figure 12 et se trouve donc bien s r sans rapport avec le point E d j rencontr de la figure g om trique situ Malvoisine Sur les deux sch mas suivants Figure 11 et Figure 12 on choisit pour plus de r alisme de placer la sph re dans une vue en perspective plut t que de situer comme souvent le plan m ridien du lieu C est dire le plan vertical du lieu passant par le p le dans le plan de la page Dans ce dernier cas les p les S et P auraient t situ s sur le grand cercle Cette vision permet de mieux repr senter les plans de l horizon de l quateur et du m ridien du lieu ainsi que la ligne des p les et les lignes d intersection des plans entre eux La sph re dessin e est suppos e opaque avec les lignes trac es sur sa surface de telle sorte que celles qui sont situ es l arri re apparaissent en pointill s On symbolise la sph re c leste avec les positions du centre O de l horizon et du z nith Z du lieu d o l on observe puis on repr sente la position de l axe des p les SP et de l quateur qui est bien s r telle que l angle du plan de ce dernier avec la droite OZ corresponde la latitude de notre lieu d observation Cette latitude se retrouve d ailleurs en l angle NHOP en raison de l galit d angles dont leurs c t s sont respectivement perpendiculaires Cet angle NHOP caract rise d ailleurs commun ment la latitude d un lieu comme y tant gale la hauteur du p le Figure 11 au dessus de l horizon 16
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD   Que le lecteur pardonne cette homonymie de notation car ...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Cet tat des lieux tant pos on positionne maintenant l toile polaire dont on sait maintenant qu elle s carte du v ritable p le nord g ographique en rep rant son azimut Az angle di dre entre les plans verticaux passant pour l un par le p le et pour l autre par l toile Az arc NH e2 ainsi que sa d clinaison angle form dans le plan m ridien de l toile entre la direction OE et le plan de l quateur arc e1 E qui en l occurrence para t l arri re du dessin en perspective de la Erreur source de la r f rence non trouv e Les 3 points P E et Z tant d sormais pos s sur la sph re c leste ils y forment un triangle sph rique dans lequel on pourra relier 4 de ses l ments au moyen d une formule g n rale De plus l abb PICARD a vis l toile polaire E au moment particulier o celle ci dans sa rotation autour du p le en tait sa digression orientale maximale ce qui signifie g om triquement que le plan vertical OZE qui fut celui de la vis e nocturne avec le quart de cercle est tangent au cercle que d crit l toile autour du p le Voir la suite le dessin Figure 13 de l agrandissement du triangle PZE En cons quence les arcs ZE et PE sont perpendiculaires et le triangle sph rique PZE est rectangle en E Figure 12 17
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Cet      tat des lieux      tant pos  , on positionne mai...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD R sumons les 4 l ments rep r s de ce triangle sph rique PZE Angle PEZ 2 90 Angle PZE azimut Az de la direction reliant le point stationn au point E Arc PZ 2 90 comme compl ment de l arc PN dans l angle droit ZON Arc PE 2 90 comme compl ment de l arc Ee1 dans l angle droit POe1 Dans un triangle sph rique les rapports du sinus d un angle au sommet avec le sinus de son arc oppos sont gaux Formule g n rale soit ici Sin Az Sin 2 Sin PEZ Sin 2 Comme PEZ 2 Sin PEZ 1 et Sin Az 18 Sin 2 Sin 2 Figure 13 Cos soit Sin Az Cos
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  R  sumons les 4   l  ments rep  r  s de ce triangle sph  ...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Reprenant l exercice de l abb PICARD qui nonce qu ce moment l le compl ment de la d clinaison de l toile polaire est de 2 2 28 et que la latitude de cette station G du tertre de Mareuil est de 49 5 nous r ditons son calcul de la valeur de l azimut de la polaire sa digression orientale maximale Soit 87 32 87 53333 et 49 5 49 08333 Az Arc sin Cos87 53333 Cos49 08333 3 76768 3 46 vers l est Compl tant d sormais la Figure 10 p 15 la direction de G vers le point loign mat rialisant la vis e vers l toile polaire qui avait t faite pendant la nuit forme donc un angle de 3 46 avec la direction du nord g ographique Corr lativement l orientation du c t GI est donc de 4 55 3 46 1 09 vers l ouest Revoir la Figure 10 p 15 Soit son azimut est de 360 1 09 358 51 00 comptant l azimut de 0 360 dans le sens des aiguilles d une montre Par suite l angle IGE ayant t observ pour la valeur de 178 25 l orientation de la direction GE est de 1 09 178 25 179 34 vers l ouest L abb PICARD dit orientation de 179 34 vers le couchant soit son azimut est de 360 179 34 180 26 Le point E dont il est question ici redevient bien s r celui de la figure g om trique situ Malvoisine Remarques Nous exprimerions aujourd hui la valeur de l azimut du c t GE 180 26 car il doit tre Figure 14 19
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Reprenant l   exercice de l   abb   PICARD qui   nonce qu...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD compt par convention de 0 360 dans le sens des aiguilles d une montre Math matiquement sens dit r trograde Le compl ment de la d clinaison de l toile polaire est de nos jours de 0 44 09 comme on peut le lire sur le site de l universit de Strasbourg http cds u strasbg fr Dit autrement cela signifie que l toile polaire passe actuellement 0 44 09 du p le La latitude de valeur 49 05 de la station G du tertre de Mareuil est utilis e ici par l abb PICARD qui la justifie en se r f rant aux r sultats finaux de ses travaux Mais la chronologie de ses calculs supposant bien qu il connaisse cette valeur au moment pr sent cela constitue pour nous une nigme Un lecteur aura peut tre la solution On verra plus loin que l abb PICARD prend pour acquise la latitude du jardin de la biblioth que du roi Paris commun ment admise pour 48 53 et en d duit celle des tours de Notre Dame puis gr ce aux r sultats de ses calculs en d duira celles des diff rents points de ses figures Il est donc utile ici de montrer le principe g n ral simple de d termination de la latitude en un point qui est aussi comme d j dit la hauteur du p le en ce point En Figure 15 le plan m ridien du lieu ZOP est Figure 15 volontairement repr sent en vision 3D et ne correspond donc pas au plan de la feuille pour mieux montrer la trajectoire circulaire repr sent e ici par une ellipse d une toile circumpolaire telle par 20
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  compt  , par convention, de 0    360   dans le sens des a...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD exemple que l une quelconque de celles de la constellation de la Grande Ourse Les deux positions de culmination sup rieure et inf rieure lors du passage d une telle toile au m ridien de notre lieu d observation sont not es As et Ai Par sym trie la hauteur du p le c est dire la latitude du lieu d observation repr sent e par l angle N1OP est gal la moyenne arithm tique des hauteurs de As et Ai c est dire des angles N1OAs et N1OAi L abb PICARD m ne la m me op ration d orientation depuis le clocher de Sourdon N en y visant le clocher de la cath drale d Amiens et en ayant la chance que la plus grande digression de l toile polaire se produise au cr puscule permettant ainsi d y faire ses observations simultan ment au contraire de la station du tertre de Mareuil G o comme d crit plus haut il avait d interrompre la m me station la nuit pour y revenir de jour le lendemain matin Il tablit ainsi selon le principe d j utilis que la direction NV Figure 7 p 11 et Figure 18 p 23 d cline de 18 55 du nord vers l occident Alors que nous dirions aujourd hui que l azimut de cette ligne NV est de 360 18 55 341 05 La d termination par le truchement de l toile polaire de l azimut de cette direction NV permet ensuite de calculer en lui ajoutant les valeurs observ es ou conclues des angles VNT TNR RNL et LNI l azimut de la direction NI c est dire de la ligne droite joignant le clocher de Sourdon celui de Clermont qui s tablit 180 2 09 10 177 50 50 dite plus simplement la phrase pr c dente s crit La d termination de l azimut de cette direction NV permet ensuite de calculer l azimut de la direction NI qui s tablit 180 2 09 10 177 50 50 Cette seconde op ration de d termination de l orientation d un c t de la figure soit de NV apr s celle de GI pr sente le tr s gros avantage On dirait aujourd hui la n cessit de permettre un contr le dont tonnamment l abb PICARD ne Figure 16 21
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  exemple, que l   une quelconque de celles de la constella...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD fait pas tat Il s agit de s assurer que les deux orientations de IN qui vient de NV et de IG d termin es ind pendamment l une de l autre ceci pr s que c est l toile polaire qui est intervenue dans les deux cas sont compatibles avec les angles observ s ou conclus depuis le point I Planche II et Figure 16 Azimut de IN venant d tre d termin Azimut de IG d termin pr c demment Soit diff rence azimut IG azimut IN 357 50 50 178 51 00 181 00 10 Il faut alors comparer cette derni re diff rence avec la valeur de l angle g om trique NIG qui est obtenue en faisant la somme des 4 angles qui le subdivisent angle NIL 29 28 15 LIK 58 31 50 KIH 65 46 00 HIG 27 14 00 181 00 05 L cart constat n est donc que de 5 et d montre l excellente coh rence entre les deux op rations d orientation astronomiques Le clocher de la cath drale d Amiens s est donc trouv int gr la figure en ayant servi une d termination d orientation mais par ailleurs l abb PICARD int gre bien s r aussi le clocher de la cath drale Notre Dame de Paris en compl tant l encha nement sp cifique des triangles suivants Figure 17 Figure 4 p 7 compl t e Figure 17 22 Figure 4 p 7 compl t e
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  fait pas   tat. Il s   agit de s   assurer que les deux o...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Ayant mesur le c t AB pour 5663 toises qui a servi de 1 re base le triangle ABO d termine le c t OA ensuite AOD d termine OD et DOS d termine DS enfin SDE d termine SE pour 19556 T 1 P L angle SEG est obtenu par diff rence SEG DEG DES 8 13 00 Ainsi Figure 19 p 24 connaissant l azimut 0 26 00 de EG l azimut de ES est donc de 8 13 00 0 26 00 7 47 00 L abb PICARD avait curieusement d termin une premi re fois le clocher de N D de Paris en consid rant la longueur GS GD DS alors que les 3 points G S et D ne sont pas rigoureusement align s L angle SGE ajout l azimut de GE donnait l azimut de GS Des op rations seulement de calcul permettent ensuite de d terminer la longueur de l arc de m ridien proprement dit Appelant le point d intersection entre la ligne m ridienne passant par N et le parall le passant par V le triangle rectangle NV ainsi abstraitement con u permet de calculer la longueur N du premier segment de m ridien Figure 18 N Cos VN soit N NV Cos VN NV NV 11161 Toises 4 Pieds 11161 6667 Toises VN 18 55 18 91667 Avec notre actuelle calculatrice nous trouvons N 10558 837 toises soit 10558 toises 5 pieds alors qu tonnamment l abb PICARD trouve 10559 toises 3 pieds soit un cart de 4 pieds 1 3 m tre pour seulement une op ration de calcul Figure 18 23
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Ayant mesur   le c  t   AB pour 5663 toises  qui a servi ...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Par la suite l abb PICARD r capitule les longueurs calcul es des segments constitutifs de la ligne m ridienne Figure 19 Segment Toises Pieds N 10559 3 N 18893 3 17560 3 I 31894 G Total 78907 3 total que l abb PICARD r sume 78907 Toises Le sous total de la distance m ridienne de Sourdon N Malvoisine projection de E sur le m ridien de N soit N est de 68348 toises que l abb PICARD r sume 68347 toises 3 pieds Le clocher de N D de Paris est d fini par le calcul de la longueur E ES cos Se soit 19556 T1 P cos 7 47 00 19376 T E 24 Figure 19
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Par la suite, l   abb   PICARD r  capitule les longueurs ...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD L abb PICARD s affranchit avec raison de la r duction au niveau de la mer th oriquement n cessaire de la distance qui vient d tre tablie entre Paris et Amiens dont l altitude moyenne est environ de 30 m tres 15 toises Il est exact comme il le dit que l arc S mesur sur le terrain diff re seulement de moins de 3 toises avec l arc S 0 qui serait r duit comme sch matis sur la Figure 20 Figure 20 L abb PICARD nous donnera une illustration calcul e l g rement diff rente de ce ph nom ne aussit t apr s avoir arr t la valeur d finitive de sa mesure du degr du m ridien terrestre pour 57060 toises En raison de la similitude des 2 secteurs angulaires nous avons S0 S R soit en utilisant un anachronisme pour le second membre o les quantit s R et H R H sont ici exprim es ici en km 25
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  L   abb   PICARD s   affranchit, avec raison, de la r  du...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD S0 S 6370 6370 030 78907 T 6370 6370 030 78906 6 toises 78906 toises 3 7 pieds soit seulement 2 7 pieds en moins que la longueur recueillie sur le terrain Par ailleurs de m mes op rations de calcul permettent de d terminer la longueur de l arc de parall le qui s pare deux points Ainsi Figure 19 p 24 V VN Sin VN 11161 toises 4 pieds sin 18 55 3618 T 3P L abb PICARD trouve 3617 T 4 P Les longueurs calcul es des arcs de parall les s parant deux points Figure 19 p 24 sont Segment Toises Pieds V I G E 3618 710 352 241 3 1 3 1 I et G G G et E E Pour le clocher de Notre Dame de Paris S ES Sin SE 19556 T 1 P Sin 7 47 00 2648 T 2 P E et pour v rification S S 2648 T 2 P 241 T 1 P 2889 T 3 P alors que l abb PICARD trouvait en premier S 2892 T Ces longueurs d arc de parall les seront plus tard utilis es pour d terminer la diff rence de longitude entre 2 points partir de leur latitude au moyen des formules suivantes Figure 21 p 27 R Rayon de la terre r1 R Cos 1 AB R A1B1 r1 R Cos 1 soit A1B1 R Cos 1 26
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  S0  S   6370 6370,030 78907 T  6370 6370,030   78906,6 to...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Figure 21 27
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Figure 21  27
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD DEUXIEME PARTIE MESURE DE L ANGLE AU CENTRE DE CET ARC DIT AUSSI AMPLITUDE La longueur de l arc de m ridien Figure 19 p 24 tant d sormais tablie il reste pour tre en mesure de trouver la longueur de 1 de ce m ridien d terminer l amplitude de cet arc c est dire la diff rence entre les latitudes des extr mit s er ce qui fait po tiquement dire l abb PICARD que C est dans le ciel qu il faut chercher la mesure de la terre Mais la nouveaut de l emploi des lunettes l am ne v rifier et pr parer ses instruments avant de les utiliser pour r aliser les observations astronomiques proprement dites Le quart de cercle comme dessin sur la planche III page 64 est install dans le plan vertical pour la mesure des angles verticaux Figure 22 Angle dit de hauteur d un objet compt partir de l horizontale Tout d abord comme montr en figure 1 de cette planche III o le quart de cercle est gauche de son pied l op rateur vise son il est esquiss devant l oculaire de la lunette au moyen de la lunette fixe FE voir aussi Figure 3 p 6 un point loign P et marque le point D du limbe par lequel passe le fil vertical d un plomb suspendu depuis le centre A Ensuite comme montr en figure 2 de cette m me planche III o le quart de cercle est droite de son pied donc apr s avoir t bascul de haut en bas contre tourn Figure 22 l op rateur vise par la m me 28
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  DEUXIEME PARTIE MESURE DE L   ANGLE AU CENTRE DE CET ARC,...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD lunette le m me point P et marque le point E du limbe depuis lequel il faut suspendre le fil vertical du plomb pour que celui ci co ncide avec le centre A du quart de cercle Les 2 points D et E ainsi trac s sur le limbe dans ces 2 op rations successives sont tels que le point C milieu de l arc DE doive correspondre au commencement de la division du limbe du quart de cercle comme le montre la Figure 22 p 28 BAD BAE 180 en raison des positions D et E obtenues par co ncidence du fil plomb passant aussi par A De plus bien s r ED est une ligne verticale et les points E A et D sont align s Le point D obtenu lors de la premi re vis e occupe la position D sym trique de D par rapport la droite BAP lors de la deuxi me vis e Il en d coule que AB est la bissectrice de l angle DAD C choisi au milieu de D E DE en fait est donc tel que AC est la bissectrice de l angle D AE DAE en fait AB et AC sont donc les bissectrices int rieure et ext rieure de l angle DAD et sont donc ce titre perpendiculaires entre elles La condition g om trique du quart de cercle est donc r alis e par l angle BAC 90 La hauteur d un objet vis est symbolis e par l angle i not sur la Figure 22 p 28 Au cas particulier o i 0 la vis e AP est horizontale et le fil plomb suspendu depuis le centre A passe par le point C d but des graduations du limbe AC tant alors verticale puisque l angle BAC 90 comme venant d tre tabli Dans le souci d am liorer la mesure des diff rences de latitude l abb PICARD fit construire le grand secteur dessin en figure 3 et 4 de la planche III page 65 Ses principales et impressionnantes caract ristiques sont un rayon et une longueur de lunette de 10 pieds 3 25 m tres une partie de circonf rence limit e 18 et une division du limbe en lignes transversales jusqu en 1 3 de minute tr s distinctes Le limbe du quart de cercle tant divis en minutes distinctes l abb PICARD en avait estim la pr cision de mesure 10 Corr lativement il estime la pr cision de mesure avec le grand secteur 3 29
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  lunette le m  me point P et marque le point E du limbe de...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Pour initier le fonctionnement de cet instrument sch matisons le Figure 23 en un secteur angulaire rigide OAB o BA repr sente l axe optique de la lunette OA repr sente le bras servant de structure et contenant le pivot P autour duquel l ensemble bascule pour viser un astre donn A est le point d attache du fil plomb OB repr sente le limbe en forme d une partie de circonf rence Dans la premi re tape alors que le secteur est plac en avant de son support l astre S est vis dans la lunette et le fil plomb suspendu en A rencontre le limbe au point marqu D Dans la seconde tape le secteur est contre tourn se trouvant d sormais plac en arri re de son support l astre S tant toujours vis dans la lunette le fil plomb rencontre maintenant le limbe au point E L op ration de contre tournement de l appareil alors que la vis e sur l astre S au travers de la lunette est maintenue a la cons quence g om trique d une sym trie de la figure par rapport la ligne BA repr sentant l axe optique entra nant l galit angulaire EAB BAD Z distance z nithale de l astre S depuis le point stationn Donc EAD 2 Z soit Z EAD 2 Le point B milieu de l arc ED correspond donc au d but de la division du limbe Corr lativement la marque du point B par le fil plomb correspondrait une vis e par la lunette parfaitement au z nith de la station Une mesure courante de distance z nithale au moyen de ce grand secteur consiste donc viser dans la lunette un astre au moment de sa culmination m ridienne et lire la division du limbe qui se trouve en regard Figure 23 30
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Pour initier le fonctionnement de cet instrument, sch  ma...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD du fil plomb suspendu au centre A L abb PICARD dit la division du limbe o bat le fil plomb L op ration astronomique consiste mesurer au moyen de ce grand secteur l amplitude d un arc de m ridien AB c est dire la diff rence de latitude entre chacune des deux extr mit s A et B de l arc Voir d s maintenant les Figure 24 page 32 et Figure 25 page 33 en se limitant l int rieur et au p rim tre du cercle trac La m me toile sera vis e avec l instrument en chacune des deux extr mit s de l arc pour y recueillir la distance z nithale qui leur est propre Mais lorsqu on se situe dans le plan m ridien d un lieu en l occurrence on se situe ici dans le plan m ridien unique de deux lieux A et B qui sont pr cis ment situ s sur le m me arc de m ridien il faut remarquer que la ligne du z nith d un lieu stationn partage le ciel en deux parties distinctes respectivement c t du p le ou c t de l quateur Ainsi depuis un lieu donn A ou B toute toile appartient l un ou l autre de ces deux c t s sauf tre elle m me situ e parfaitement au z nith du lieu Deux cas de figure de position sont distinguer pour tablir la diff rence des latitudes entre les deux extr mit s de l arc de m ridien selon que l toile commune vis e sera pour chacune de ces deux extr mit s stationn es d un c t oppos du ciel Figure 24 p 32 ou d un m me c t du ciel Figure 25 p 33 o ce m me c t du ciel a t retenu ici comme celui du p le Premier cas de position pr sent par la Figure 24 p 32 que l abb PICARD intitule celui d une toile emprisonn e entre deux z niths Les deux extr mit s de l arc de m ridien dont on veut conna tre l amplitude sont les points A et B Par rapport au z nith l toile E se trouve du c t du p le lorsque l on est plac en A et du c t de l quateur ou du Midi lorsque l on est plac en B Les latitudes A et B des points A et B et la d clinaison E de l toile E telles que positionn es sur cette figure r sultent des d finitions de ces notions Les distances z nithales de l toile E lors de son passage au m ridien c est dire sa culmination soit Z A E depuis A et Z B E depuis B doivent tre observ es avec le grand 31
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  du fil    plomb suspendu au centre A.  L   abb   PICARD d...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD secteur On doit se placer au moment du passage de cette toile E au m ridien du lieu d observation c est a dire lors de sa culmination car la formule qui sera tablie aussit t postule cette repr sentation dessin e Figure 24 et Figure 25 depuis A nous avons A AOE E Mais l toile E est tellement loign e par rapport aux dimensions de la terre que l on peut consid rer que les droites OE et AE sont quasi parall les au voisinage de la terre ce qui entra ne l galit des angles correspondants Z A E et AOE soit Z A E AOE donc A Z A E E 1 depuis B nous avons B BOE E de la m me mani re que celle d j vue pour A Z B E BOE donc B Z B E E 2 Egalisons 2 et 1 B Z B E A Z A E soit B A Z A E Z B E Ainsi dans ce cas de Figure 24 la diff rence de latitude entre les extr mit s de l arc de m ridien AB est gale la somme des distances z nithales de Figure 24 l toile E depuis A et B Deuxi me cas de position pr sent par la Figure 25 p 33 que l abb PICARD pr f re retenir pour la raison bien comprise qui va d couler de la formule donnant alors l expression de la diff rence de latitude 32
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  secteur.  On doit se placer au moment du passage de cette...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Par rapport au z nith l toile F se trouve du m me c t du ciel en l occurrence sur cette Figure 25 celui du p le que l on soit plac en A ou en B Les latitudes A et B des points A et B et la d clinaison F de l toile F telles que positionn es sur cette figure r sultent comme pr c demment des d finitions de ces notions Les distances z nithales de l toile F lors de son passage au m ridien c est dire sa culmination soit Z A F depuis A et Z B F depuis B ont t observ es avec le grand secteur depuis A nous avons A AOF F Mais l toile F est tellement loign e par rapport aux dimensions de la terre que l on peut consid rer que les droites OF et AF sont quasi parall les au voisinage de la terre ce qui entra ne l galit des angles correspondants Z A F et AOF soit Z A F AOF donc A Z A F F 3 de la m me mani re depuis B nous avons B Z B F F 4 Egalisons 4 et 3 B Z B F A Z A F soit B A Z A F Z B F Figure 25 Ainsi dans ce cas deFigure 25 la diff rence de latitude entre les extr mit s de l arc de m ridien AB est gale la diff rence des distances z nithales de l toile F depuis A et B 33
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Par rapport au z  nith, l     toile F se trouve du m  me ...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Cette disposition est donc aussit t pr f r e par l abb PICARD qui vise depuis Malvoisine Sourdon et Amiens la m me toile dite du Genou de Cassiop e car le r sultat obtenu dans ce cas par la diff rence de deux distances z nithales limine arithm tiquement toute erreur syst matique qui entacherait la lunette du grand secteur si elle venait se trouver d r gl e Genou de Cassiop e Ruchbah toile de cette constellation de Cassiop e voir la Figure 26 montrant les toiles circumpolaires toujours visibles de la r gion nord du ciel tournant autour de la polaire cause du mouvement diurne dans le sens contraire des aiguilles d une montre c est dire en termes math matiques dans le sens direct Les mesures des distances z nithales de cette toile avec le grand secteur sont d taill es ciFigure 26 dessous Date Septembre 1670 Sept Oct 1670 Octobre 1670 Lieu stationn 18 Toises au sud de E 65 Toises au nord de N 75 Toises au sud de V Distance z nithale 09 59 05 08 47 08 08 36 10 En cons quence Diff rence de latitude 01 11 57 01 22 55 34 Entre les points Malvoisine sud de E et Sourdon nord de N Malvoisine sud de E et Amiens sud de V
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Cette disposition est donc aussit  t pr  f  r  e par l   ...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD TROISIEME PARTIE CALCUL DE LA LONGUEUR DE LA PARTIE D ARC QUI CORRESPOND UNE AMPLITUDE DE 1 DEGR La pr c dente distance m ridienne calcul e de Sourdon N Malvoisine soit 68347 Toises 3 Pieds doit donc tre augment e de 65 18 83 toises c est dire tre finalement port e 68430 toises pour la rendre en ad quation avec la diff rence de latitude observ e de 01 11 57 01 11 57 1 1991666667 Ainsi un arc de m ridien d amplitude de 1 correspond 68430 1 1991666667 57064 628 toises soit 57064 toises 3 pieds Un calcul analogue est men avec la distance m ridienne calcul e d Amiens V Malvoisine soit 78907 Toises qui doit donc tre diminu e de 75 Toises et augment e Figure 1 de 18 Toises c est dire finalement tre diminu e de 57 Toises pour tre finalement fix e 78850 Toises pour se trouver en ad quation avec la diff rence de latitude observ e de 01 22 55 01 22 55 1 381944444 Ainsi un arc de m ridien d amplitude de 1 correspond 78850 1 381944444 57057 286 Toises soit 57057 Toises 3 Pieds Pour plus de simplicit l abb PICARD retient la valeur moyenne ronde de 57060 Toises comme longueur d un arc de m ridien d amplitude de 1 Revenant la Figure 1 il vient donc d tre tabli qu une amplitude de 1 engendre un arc de m ridien S d une longueur de 57060 Toises Soit 111209 94 m Corr lativement on obtient 35
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  TROISIEME PARTIE CALCUL DE LA LONGUEUR DE LA PARTIE D   A...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD le rayon de la terre par la formule R S o est exprim en radian soit R 57060 1 180 3269297 179 toises Soit 6371860 m le diam tre de la terre D 2 R 6538594 358 toises Soit 12743720 m et bien s r aussi la longueur de la circonf rence de la terre R 2 soit Circonf rence 3269297 179 2 20541600 toises Soit 40035578 4 m L abb PICARD est tout de m me saisi d un doute quand il r alise qu il a pris ses mesures sur le terrain et qu en passant par le sommet des montagnes les distances sont sup rieures celles que l on aurait trouv es en marchant le long du rivage de la mer La lieue tait la distance que l homme peut parcourir pied en une heure L ancienne lieue de Paris avant 1674 valait 10000 pieds soit 1666 6 Toises L abb PICARD estime que la pente des rivi res qui coulent en plaine telle que la Seine est de 5 pieds par lieue ce qui pour nous signifie 5 10000 0 5 pour mille Il juge aussi que la r gion de Paris Amiens est environ 35 lieues de la mer et il en d duit que l altitude moyenne au niveau des rivi res y est de 30 toises Il ajoute que ses mesurages ont pu s lever de 50 toises au dessus des rivi res telle sorte que l altitude moyenne H des terrains parcourus est environ de 80 toises La distance DH Arc S a t mesur e Figure 20 sur le terrain en altitude alors que distance D0 Arc S0 aurait d tre mesur e au niveau de la mer Leur similitude permet d exprimer D0 DH R R H Figure 20 soit D0 DH 3269297 179 3269297 179 80 Donc pour la longueur m ridienne DH trouv e par l abb PICARD de 57060 toises quivalant 1 d amplitude la distance D0 correspondante au niveau de la mer est de D0 57060 36
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD      le rayon de la terre par la formule R   S     o      ...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD 3269297 179 3269377 179 57058 60 toises c est a dire 1 4 toise ou 8 pieds de moins que DH ce qui selon lui ne doit pas tre consid r en cette rencontre L abb PICARD obtient donc son r sultat de la longueur d un arc de m ridien pour une amplitude de 1 1 d amplitude valant 57060 toises Soit 111210 m Il le g n ralise ensuite dans un tableau dont il se servira ensuite pour simplifier des calculs 1 d amplitude vaut 57060 60 951 toises 1 d amplitude vaut 57060 60 60 15 85 toises L abb PICARD compl te ces valeurs de correspondances pour les amplitudes allant de 1 60 et de 1 60 dans une table qu il intitule Table pour la valeur d un degr d un grand cercle de la terre distribu e en Minutes Secondes 37
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  3269297,179   3269377,179   57058,60 toises, c   est-a-di...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD QUATRIEME PARTIE D DUCTION DES LATITUDES ET DES LONGITUDES Les distances m ridiennes calcul es pr c demment entre les diff rents lieux parcourus permettent maintenant l abb PICARD d en d duire leurs diff rences de hauteur du p le C est dire de leurs latitudes Il lui suffit de diviser les dites distances m ridiennes par 951 toises pour trouver combien de minutes et secondes s parent leurs extr mit s en latitude comme d crit dans le tableau suivant Entre les 2 points Dist m ridienne Diff rence de latitude Malvoisine ND de Paris E not e Figure 19 p 24 19376 T 19376 951 20 3743428 soit 20 et 0 3743428 60 0 20 22 Malvoisine Mareuil 31894 T 31894 951 33 5373291 0 33 32 G not e Figure 19 p 24 Malvoisine Clermont 49454 Figure 19 p 24 T3 P 49454 5 951 52 0026288 0 52 00 Malvoisine Sourdon N Figure 19 p 24 68347 T3 P 68348 951 71 86961094 1 11 52 Malvoisine ND d Amiens Figure 19 p 24 78907 T 78907 5 951 82 9731861 1 22 58 ND de Paris ND d Amiens E Figure 19 p 24 59531 T 59531 5 951 62 5988433 1 02 36 Remarque Pour les deux intervalles entre Malvoisine Sourdon d une part et Malvoisine ND d Amiens d autre part on ne doit pas tre tonn pour deux raisons de trouver un 38
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  QUATRIEME PARTIE D  DUCTION DES LATITUDES ET DES LONGITUD...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD l ger cart entre les diff rences de latitudes calcul es dans le pr c dent tableau et celles qui ont pr cis ment r sult des observations astronomiques o La longueur de l arc de 57060 T pour une amplitude de 1 a r sult d une moyenne entre ces deux d terminations o Les points stationn s avec le grand secteur pour viser l toile de Cassiop e n ont pas co ncid avec les points E Malvoisine N Sourdon et V ND d Amiens L abb PICARD pr sente la hauteur du p le C est a dire la latitude de Paris au jardin de la biblioth que du roi comme tablie commun ment pour 48 53 dont il faut ter 50 pour conna tre la latitude des tours de Notre Dame de Paris qui est donc de 48 52 10 Il peut alors en d duire les latitudes des points principaux de ses mesures partir des diff rences de latitude qu il vient de calculer soit Lieu Notre Dame de Paris Malvoisine Mareuil Clermont Sourdon Notre Dame d Amiens Latitude 48 52 10 48 31 48 49 05 20 49 23 48 49 43 40 49 54 46 L abb PICARD nous pr vient que les diff rences de longitudes de ces m mes lieux demandent un peu plus de calculs que celles des latitudes Revenons aux Figure 19 et Figure 21 L arc de parall le A1B1 est situ la latitude 1 Les m ridiens respectifs de A1 et B1 coupent l quateur en A et B et la diff rence Figure 19 de longitude entre ces 2 points A et B est not e Le rayon de la terre qui est bien s r aussi 39
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  l  ger   cart entre les diff  rences de latitudes calcul ...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD celui de l quateur est not R Le rayon du parall le de centre O 1 passant par les points A1 et B1 est not r1 Dans le triangle rectangle OB1O1 nous avons Cos 1 O1B1 OB1 r1 R Par ailleurs A1B1 r1 rd et AB R rd Donc r1 R A1B1 AB Cos 1 et AB A1B1 Cos 1 L abb PICARD calcule donc de cette mani re la longueur sur l quateur qui correspond celle connue pour avoir t pr c demment calcul e par lui qui s pare 2 points sur le m me parall le Il lui suffit ensuite gr ce sa table pr c dente de chercher combien de minutes et secondes sont contenues dans cette longueur calcul e sur l quateur qui est aussi bien s r une longueur de grand cercle de la terre Figure 21 Ainsi Sourdon N est situ l est de Point Arc parall le Long quat Ecart de longitude N DAmiens V V 3618T3P 5619 198T 5619 2 951 5 90872628 5 54 puis Clermont I est situ l est de Point Arc parall le Long quat Ecart de longitude Sourdon N I 710T1P 1098 66T 1098 66 951 1 15527506 1 09 40
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  celui de l     quateur est not   R. Le rayon du parall  l...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD et Mareuil G est situ l est de Point Arc parall le Long quat Ecart de longitude Clermont I G 352T3P 541 625T 541 625 951 0 569532 0 34 Mais enfin Notre Dame de Paris S est situ l ouest de Point Arc parall le Long quat Ecart de longitude Mareuil G S 2889T3P 4392 826T 4392 826 951 4 6191650 4 37 En conclusion N D de Paris est l est de N D d Amiens de 5 54 1 09 0 34 4 37 3 00 L abb PICARD dit que Paris l endroit des tours de Notre Dame n est plus oriental qu Amiens que de 3 Cet cart de longitude correspond une longueur de 3 951 2853 T sur l quateur soit 2853 Cos 48 52 10 1877 T sur le parall le de Notre Dame de Paris Ainsi pour la d termination des carts de longitude entre points sa table pour la valeur d un degr d un grand cercle de la terre distribu e en Minutes Secondes a donc aussi apport une simplification de calcul l abb PICARD En effet s il avait d s en dispenser le calcul d cart en longitude aurait n cessit le recours explicite la valeur du rayon de la terre puis une conversion d angle obtenu spontan ment en radian comme l illustre ci dessous le premier exemple de calcul entre Sourdon et N D d Amiens Sourdon N est situ l est de Point Arc parall le long quat Ecart de longitude N D Amiens V V 3618T3P 5619 198T 5619 2 R rd 5619 2 3269297 179 rd 0 001718779 rd 0 001718779 180 5 54 41
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  et, Mareuil  G  est situ      l   est de   Point Arc para...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Reprenant le calcul g n ral des carts de longitude nous avions aussi Malvoisine E est situ l ouest de Point Arc parall le long quat Ecart de longitude Mareuil G E 241T1P 364 225T 364 225 951 0 3829917 0 23 Nous pouvions alors aussi remarquer que Malvoisine est l est de Sourdon de 1 09 0 34 0 23 1 20 L abb Picard dit 01 23 confirmant donc la forte ressemblance m ridienne des points choisis par l abb PICARD pour cette vaste op ration 42
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Reprenant le calcul g  n  ral des   carts de longitude, n...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD CINQUIEME PARTIE IL Y AVAIT UNE M THODE PLUS SIMPLE MAIS En compl ment de tout son expos pr c dent l abb PICARD relate une m thode beaucoup plus simple car elle n cessite aucune observation astronomique pour la r solution du calcul de la longueur d un degr du m ridien terrestre qu avait pr conis e au d but du XVII me si cle Johannes KEPLER au P re RICCIOLI La Figure 27 montre le plan en coupe d un grand cercle de la terre dont O est le centre et 2 points A et B lev s la surface de la terre qui puissent tre observ s r ciproquement Les points A et B correspondent leurs positions respectives au niveau de la mer Les mesures angulaires verticales dans le plan du grand cercle passant par A et B permettent de conna tre les angles OAB et OBA et donc d en d duire l angle au centre AOB 180 OAB OBA La longueur AB a galement t mesur e Ou probablement calcul e apr s des mesures en tant ramen e l horizontale Ainsi la longueur x d un arc de grand cercle correspondant une amplitude de 1 sera donc la distance AB ce que 1 est l angle au centre AOB soit x AB 1 AOB x AB 1 AOB Figure 27 Application num rique du P re RICCIOLI Point A Haut de la tour de Mod ne Point B Sommet de la montagne de Paterne situ e une lieue au sud de Bologne 43
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  CINQUIEME PARTIE IL Y AVAIT UNE M  THODE PLUS SIMPLE MAIS...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Angles OAB OBA donc AOB 89 90 0 26 15 18 13 07 39 27 00 33 Soit 0 310986111 Longueur AB 20016 pas de Bologne Soit x 20016 1 0 310986111 64363 pas de Bologne qui quivalent 62900 toises de Paris Ce r sultat est donc erron en tant fortement sup rieur celui de l abb PICARD qui conclut que cette m thode rapide est beaucoup trop approximative en raison d une trop forte extrapolation et du ph nom ne de la r fraction atmosph rique Remarque L observation d une carte d Italie montre que la direction Mod ne Bologne est orient e Sud Est de telle sorte que le P re RICCIOLI a bien ici calcul un arc de grand cercle mais qui en l occurrence n est pas un arc de m ridien terrestre 44
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Angles  OAB   OBA  donc  AOB        89 90 0      26 15 18...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD SIXIEME PARTIE CONS QUENCES POUR LE NIVELLEMENT Pour terminer l abb PICARD met profit sa d termination de la longueur du rayon de la terre en vue de l observation du nivellement il dit la mani re dont on observe le niveau Curieusement ce propos il parle du demi diam tre de la terre qu il cite pour 3269298 toises 3 pieds soit 3269298 5 toises alors que dans sa r capitulation des r sultats page 82 du livre ancien il indique le diam tre de la terre pour 6538594 toises L abb PICARD expose la suite l tablissement d une table qui permettra de g n raliser l observation du nivellement Enfin il utilise ses conclusions sur l tude des cons quences de la r fraction atmosph rique pour rejeter d finitivement cette m thode simplifi e de d termination de la longueur du degr du m ridien terrestre telle qu il vient de la rapporter comme pratiqu e par le p re RICCIOLI Le sch ma de la Figure 28 montre une expression provisoire permettant par l observation d un angle dans le plan vertical de transmettre l altitude connue d un point celle jusque l Figure 28 inconnue d un autre point Soit NA le niveau du point A et NB le niveau du point B Nous avons NA Hi Dh Tan i Hm N B L angle de site i tant compt positivement au dessus de l horizontale et n gativement au dessous La diff rence d altitude NB NA constitue la d nivel e du point A vers le point B Deux notions essentielles sont d finir et tudier 45
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  SIXIEME PARTIE CONS  QUENCES POUR LE NIVELLEMENT Pour ter...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Le niveau apparent du point A est la ligne droite horizontale donc perpendiculaire au rayon OA tangente en A au grand cercle passant par A L erreur de sph ricit qu il faudra toujours rajouter la d nivel e est videmment inh rente la forme sph rique de la terre que nous oublions volontiers alors que nous la parcourons en permanence Figure 29 a b Figure 29 a b L expression qui a t dite provisoire ci dessus donne l altitude du point B partir de celle du point A en se limitant la ligne horizontale AH dite de niveau apparent Mais pour atteindre la correspondance du v ritable niveau de A au regard du point B il faut ajouter la quantit verticale bb au premier terme de l quation pr c dente Par 2 approximations successives bien admissibles on calcule cette valeur bb On assimile les longueurs Ab et Ab la distance AH Dh Dans le grand cercle de centre O le m me arc Ab est intercept par l angle au centre AOb et par l angle inscrit b Ab Nous en d duisons donc que b Ab AOb 2 Dans le grand cercle AOb rd Ab R soit ici AOb rd Dh R Ce qui entra ne b Ab rd Dh 2R Enfin assimilant le triangle b Ab un secteur angulaire il vient 46
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD      Le niveau apparent  du point A  est la ligne droite h...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD bb Ab b Ab rd soit bb Dh Dh 2R donc bb Dh2 2R Ainsi par cette formule gr ce au rayon de la terre R qu il a calcul l abb PICARD donne la table des corrections toujours positives qu il faut apporter cause de l erreur de sph ricit la quantit Dh Tan i pour obtenir une d nivel e homog ne Il donne les valeurs jusqu une distance horizontale de 4000 toises qui sont sommairement rappel es ci dessous en tant compl t es de la valeur pour une distance de 5000 toises Application pour une distance de 1000 toises bb 10002 2 3269298 5 0 152938 toise 0 9176 pied 11 pouces Distance Correction bb en toises Toise s Pied s 1000 Pouce s Ligne s 11 2000 3 8 3000 1 2 3 4000 2 2 8 5000 3 4 11 3 L abb PICARD d crit ensuite un appareil de nivellement direct dessin Planche IV figure 1 page 66 dont il nous recommande l utilisation optimale toujours vraie aujourd hui par port es d gales distances Il est pour nous tr s int ressant de remarquer la pr sence du fil plomb incorpor dans le montant vertical de l appareil C est donc le nouvel usage de lunettes optiques autorisant des port es beaucoup plus longues que celles qui pouvaient tre obtenues l il nu avec les pinnules qui n cessite de consid rer et de calculer ces corrections apporter 47
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  bb      Ab    b   Ab rd soit bb      Dh   Dh 2R, donc bb ...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Enfin l abb PICARD d veloppe le ph nom ne des r fractions atmosph riques qui va limiter les longueurs de vis e admissibles et notamment p rimer la m thode simplifi e de calcul de la longueur du degr du m ridien terrestre comme celle du p re RICCIOLI relat e ci dessus Pour plus de coh rence avec les sch mas pr c dents les notations utilis es dans cette partie diff rent de celles du livre originel A et B sont les extr mit s des vis es r alis es avec l appareil muni de sa lunette optique suppos es positionn es sur des hauteurs tandis que la ligne A B repr sente la surface ordinaire de la terre Figure 30 Les diff rentes couches de l atmosph re dont l abb PICARD nous dit que l air qu elles contiennent y est plus subtil en haut et plus grossier en bas incurvent le rayon lumineux des vis es de A vers B et de B vers A en lui faisant toujours tourner sa concavit vers la terre Ce ph nom ne physique est cens tre plus important lorsque le soleil est bas sur l horizon tandis qu il se minimise lorsque le soleil est haut dans le ciel Figure 30 Ainsi l objet B est vu depuis A suivant la tangente AIK au rayon courbe AB et r ciproquement l objet A est vu depuis B suivant la tangente BIJ au rayon BA Tout se passe donc comme si le rayon lumineux suivait la ligne bris e B I A au lieu de la corde BA et r ciproquement la ligne bris e A I B au lieu de la corde AB les deux tangentes se coupant au point I Croyant donc avoir mesur l angle OAB on aura recueilli OAK et il en sera de m me pour OBA devenu OBJ 48
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Enfin, l   abb   PICARD, d  veloppe le ph  nom  ne des r ...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD L alt ration angulaire due la r fraction se globalise en l angle BIK AIJ car bien s r dans le triangle ABI la somme des 2 angles parasites dus la r fraction IAB et IBA est gale l angle ext rieur en I soit BIK AIJ Ayant d termin le plus probablement apr s des calculs la longueur AB A B et connaissant d sormais le rayon de la terre R 3269298 5 toises on calculera l angle rd AB R Convertissant ensuite ce petit angle en minutes secondes la partie de la somme OAK OBJ qui exc de 180 degr s correspondra au total de l erreur angulaire due la r fraction atmosph rique L abb PICARD illustre cette d termination de la pr sence d une r fraction atmosph rique par une exp rience de vis es r ciproques qu il a faites pendant l t 1669 entre le sommet d une tour de Notre Dame de Paris et le pied de la haute tour de Montlh ry Il est int ressant pour terminer cet expos de d crire les r sultats de ces mesures en les confrontant aux donn es que l on peut d sormais recueillir sur le site G oportail de l IGN pour ces 2 points du territoire qui sont aujourd hui identiques et intacts ce que l abb PICARD a connu 3 si cles et demi plus t t Figure 30 p 48 Un jour vers midi par un temps serein l appareil quart de cercle dress dans le plan vertical est positionn sur le haut de la tour nord de Notre Dame de Paris point B 49
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  L   alt  ration angulaire due    la r  fraction se global...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD N D de Paris tour nord droite Tour de Montlh ry 50
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  N-D de Paris, tour nord,    droite.  Tour de Montlh  ry  ...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD L abb PICARD vise le pied de la tour de Montlh ry point A et constate que ce point est de niveau c est dire que l angle i 0 Cet angle i est sch matis sur les Figure 28 p 45 Figure 29 p 46 et donc que l angle OBJ 90 R ciproquement quelques jours plus tard la m me heure l abb PICARD stationne au pied de la tour de Montlh ry point A vise le sommet de la tour nord de Notre Dame de Paris point B et y constate que ce point est vu vers le bas avec un angle i 11 30 qui est donc n gatif Cela signifie alors que l angle OAK 90 11 30 89 48 30 La connaissance ant rieure par l abb PICARD de la distance AB qui s pare la tour de Montlh ry de la tour nord de Notre Dame de Paris pour la valeur de 12796 toises lui permet de calculer le petit angle au centre en utilisant sa valeur tablie du rayon de la terre R rd AB R 12796 3269298 5 0 003913989 rd soit 0 003913989 180 0 224255079 13 27 que l abb PICARD crit pour 13 30 Somme des angles OAK OBJ et OAK 89 48 30 OBJ 90 00 00 00 13 30 soit total 180 02 00 Dans le plan vertical la r fraction provoque donc une alt ration angulaire totale de 2 00 pour l ensemble des 2 vis es Il est vident que la d nivel e entre deux points A et B c est dire leur diff rence d altitudes est la m me en valeur absolue mais de signe oppos selon le sens de l observation de A vers B ou de B vers A 51
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  L   abb   PICARD vise le pied de la tour de Montlh  ry  p...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Rendons nous compte de la valeur de la d nivel e entre le pied de la tour de Montlh ry point A et le sommet de la tour nord de Notre Dame de Paris point B Dans un premier temps en ne corrigeant le calcul que de l erreur de sph ricit c est dire en laissant en l tat les valeurs angulaires i observ es laissant donc subsister l erreur due la r fraction atmosph rique Puis dans un second temps en corrigeant aussi l erreur angulaire due la r fraction atmosph rique dont on estimera faute d tre mieux inform qu elle se sera produite de mani re gale pour chacune des deux vis es r alis es NB NA Dh Tan i 12796 Tan 11 30 127962 2 3269298 5 42 8 NA NB Dh2 2R 25 17 8 18 toises 12796 Tan 0 127962 2 3269298 5 0 25 25 toises Ces 2 d terminations de d nivel es sont incoh rentes Figure 30 Voulant donc liminer l exc s angulaire de 2 qui correspond l angle BIK AIJ nous allons retirer 1 chacun des angles OAK et OBJ de telle sorte que l angle i devient en A 11 30 1 12 30 et en B 0 1 1 En effet d sormais tout se passe comme si les vis es de A vers B et de B vers A avaient t rectilignes et on v rifie que la somme des 3 angles du triangle OAB est bien de 180 OAB 89 47 30 OBA 89 59 00 et AOB 13 30 52
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Rendons-nous compte de la valeur de la d  nivel  e entre ...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Dh2 2R NB NA Dh Tan i 12796 Tan 12 30 127962 2 3269298 5 46 5 25 12796 Tan 1 127962 2 3269298 5 3 7 25 NA NB 21 5 21 3 21 5 Ces 2 d terminations de d nivel es sont coh rentes 53
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD     Dh2   2R   NB - NA   Dh   Tan i    12796   Tan  -12   ...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD SEPTIEME PARTIE ALLONS AU XXI ME SI CLE EN PASSANT PAR LE XX ME Revenant au XXI me si cle nous recueillons sur le site G oportail de l IGN les coordonn es g ographiques et l altitude de chacun des 2 points stationn s A Pied de la tour de Montlh ry Longitude 02 16 Latitude 48 38 Altitude 134 m tres 19 6 05 8 B Sommet de la tour nord de Notre Dame de Paris Longitude 02 20 58 2 Latitude 48 51 11 9 Altitude Parvis 34 hauteur des tours 69 103 m tres D o l on obtient par la fonction mesure graphiquement par la souris de l ordinateur sur G oportail Distance AB 24939 m tres 12796 toises identique celle trouv e par l abb PICARD Azimut de la direction AB Az 13 12 13 7 D nivel e de A vers B 31 m tres Conclusion Les valeurs coh rentes entre elles pour la d nivel e de A vers B de 21 5 toises soit 41 9 m tres 42 m tres trouv es par les mesures de l abb PICARD s cartent de la d nivel e actuelle qui est pourtant toujours la m me donn e par l IGN de 11 m tres ce qui est bien s r beaucoup trop mais la description du pied de la tour de Monthl ry est vague et l endroit que l abb PICARD a vis est peut tre tr s diff rent de celui que l on s lectionne sur la photo de G oportail 54
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  SEPTIEME PARTIE ALLONS AU XXI  ME SI  CLE EN PASSANT PAR ...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Annexe Si par un l ger retour en arri re on n est plus revenu au XXI me si cle mais seulement au XX me nous pouvions d j disposer des m mes donn es g ographiques cartes au 1 25000 etc pour conna tre A Pied de la tour de Montlh ry Longitude 02 16 Latitude 48 38 Altitude 134 m tres 19 6 05 8 B Sommet de la tour nord de Notre Dame de Paris Longitude 02 20 58 2 Latitude 48 51 11 9 Altitude Parvis 34m hauteur des tours 69m 103 m tres mais plut t que de lire la distance AB et l azimut AB sur G oportail nous pouvions d j les calculer facilement avec nos calculatrices par les formules de la trigonom trie sph rique comme il suit On admet que la terre est une sph re de centre O et de rayon R tel qu il a t calcul pr c demment Figure 31 Un triangle sph rique est compos de 3 angles aux sommets et de 3 arcs de grand cercle qui leur sont respectivement oppos s Les angles aux sommets sont form s dans le plan tangent la sph re au sommet entre les tangentes aux 2 arcs adjacents Les arcs exprim s en et correspondent la partie de grand cercle intercept e par l angle au centre dont les rayons joignent leurs extr mit s Les formules de trigonom trie sph rique relient dans un triangle 4 de ses l ments 55
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Annexe   Si, par un l  ger retour en arri  re, on n   est...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Au passage on r alise mieux que la somme des 3 angles au sommet d un triangle sph rique exc de 180 Par un exemple simple imaginons le triangle sph rique PAB alors que les points A et B seraient situ s sur l quateur et que leur cart de longitude serait de 90 La somme des 3 angles au sommet de ce triangle sph rique serait donc de 270 Chacun des deux points A et B est d fini par ses coordonn es g ographiques longitude et latitude La diff rence de longitude entre A et B not e B A est l angle di dre form dans le plan de l quateur entre les m ridiens de A et de B Le triangle sph rique PAB est agrandi Figure 32 pour mieux d tailler ses l ments L arc PA respectivement PB est le compl ment de la latitude A de A respectivement B de B dans l angle droit form dans le plan m ridien de A respectivement de B entre l axe OP et le plan de l quateur comme on le voit sur la Figure 31 Donc arc PA 2 A respectivement arc PB 2 B Figure 31 L angle au sommet P est gal l angle di dre B A L angle au sommet A est gal l azimut de la direction AB Angle form entre le plan m ridien de A et le plan vertical du grand cercle contenant l arc AB L azimut est compt partir du p le nord par les g ographes et les marins Il est en revanche compt partir du p le sud par les astronomes En effet les astronomes pr f rent le sud comme origine car c est vers lui qu ils se tournent pour voir les toiles leur culmination 56 Figure 32
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD       Au passage, on r  alise mieux que la somme des 3 ang...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Par commodit de notation des formules g n rales propres aux triangles sph riques on appelle C le sommet d signant jusque l le p le P De plus par convention les arcs oppos s un sommet sont appel s par leur lettre minuscule soit arc a oppos au sommet A respectivement b oppos B et c oppos C Connaissant dans ce triangle ABP ainsi nouvellement appel ABC 2 arcs et 2 angles au sommet la formule g n rale suivante est utilis e cotan a sin b cotan A sin C cos b cos C c est dire ici cotan 2 B sin 2 A cotan Az sin cos 2 A cos soit tan B cos A cotan Az sin sin A cos d o tan Az sin tan B cos A sin A cos Application num rique avec les coordonn es g ographiques des points A et B donn es plus haut de plus 4 38 6 0 077388888 Ce qui donne tan Az sin 0 077388888 0 005793482 0 233139663 D o Az de AB Arc sin 0 233139663 13 12349833 13 7 24 6 Voulant d terminer la longueur de l arc AB on utilise la formule g n rale suivante qui relie 2 angles au sommet et leurs arcs oppos s sin A sin a sin C sin c on aurait aussi sin B sin b inutile ici soit sin c sin C sin a sin A c est dire ici sin c sin sin 2 B sin Az et donc sin c sin cos B sin Az Application num rique Il vient sin c 0 003914275 Donc c Arc sin 0 003914275 0 224272057 Et c 0 224272057 180 rd 0 003914285 rd 57
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Par commodit   de notation des formules g  n  rales propr...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Voulant exprimer l arc en longueur et non plus en valeur d angle au centre con ue pour la g n ralit des formules de trigonom trie sph rique o le rayon de la sph re est conventionnellement pris pour unit nous avons c AB 0 003914285 R 0 003914285 3269298 5 12796 96878 toises c longueur arc AB 12797 toises NB Ce r sultat exc de d une toise les valeurs obtenues auparavant pour une raison probablement difficile localiser 27 janvier 2016 Daniel VIOLLAND dviollan club internet fr 58
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Voulant exprimer l   arc en longueur et non plus en valeu...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD ANNEXES COPIES DES DOCUMENTS ORIGINAUX Page de garde de l ouvrage original 59
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  ANNEXES   COPIES DES DOCUMENTS ORIGINAUX Page de garde de...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Page de l dition Gallica 60
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La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Page 3 de l ouvrage d origine 61
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La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Planche I de l ouvrage d origine 62
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La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Planche II de l ouvrage d origine 63
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Planche II de l ouvrage d origine  63
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Planche III de l ouvrage d origine 64
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La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Planche III suite de l ouvrage d origine 65
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La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Planche IV de l ouvrage d origine 66
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Planche IV de l ouvrage d origine  66
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Table des mati res INTRODUCTION D finition g om trique et contexte historique 2 PREMIERE PARTIE Mat rialisation de figures g om triques entre Paris et Amiens d finition et calcul de la longueur d un arc de m ridien 7 DEUXIEME PARTIE Mesure de l angle au centre de cet arc dit aussi amplitude 28 TROISIEME PARTIE Calcul de la longueur de la partie d arc qui correspond une amplitude de 1 degr 35 QUATRIEME PARTIE D duction des latitudes et des longitudes 38 CINQUIEME PARTIE Il y avait une m thode plus simple mais 43 SIXIEME PARTIE Cons quences pour le nivellement 45 SEPTIEME PARTIE Allons au XXI me si cle en passant par le XX me 54 ANNEXES COPIES DES DOCUMENTS ORIGINAUX 59 Page de garde de l ouvrage original 59 Page de l dition Gallica 60 Page 3 de l ouvrage d origine 61 Planche I de l ouvrage d origine 62 Planche II de l ouvrage d origine 63 Planche III de l ouvrage d origine 64 Planche III suite de l ouvrage d origine 65 Planche IV de l ouvrage d origine 66 Conversion des unit s de mesure 5 67
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Table des mati  res INTRODUCTION   D  finition g  om  tri...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Table des figures Figure 1 Arc de m ridien 2 Figure 2 Ellipso de 3 Figure 3 Quart de cercle 6 Figure 4 Cha ne de triangles 7 Figure 5 Axe optique 10 Figure 6 Ligne bris e 10 Figure 7 Projection sur un m ridien 11 Figure 8 Lignes courbes 12 Figure 9 Angles dans le plan du m ridien du lieu 13 Figure 10 Orientation par l toile polaire 15 Figure 11 Sph re c leste 16 Figure 12 Triangle sph rique PZE P le Z nith Etoile 17 Figure 13 Triangle PZE agrandi 18 Figure 14 Liaison de l azimut de la polaire avec l azimut de points au sol 19 Figure 15 Sym trie des culminations sup et inf p le 20 Figure 16 Transmissions angulaires 21 Figure 17 Int gration de Notre Dame de Paris 22 Figure 18 Longueurs des projections sur la m ridienne du point N 23 Figure 19 Ensemble des projections sur la m ridienne de N 24 Figure 20 Diff rence avec l arc de m ridien situ au niveau de la mer 25 68
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Table des figures Figure 1  Arc de m  ridien  2  Figure 2...
La mesure du degr du m ridien terrestre par l abb PICARD Figure 21 Longueurs d arcs de parall le 27 Figure 22 Mesure des angles verticaux avec le Quart de cercle 28 Figure 23 Angles verticaux vers les astres avec le Grand Secteur 30 Figure 24 Liaison de la diff rence de latitudes avec les angles verticaux 1 er cas 32 Figure 25 Liaison de la diff rence de latitudes avec les angles verticaux 2 me cas 33 Figure 26 Ciel nocturne 34 Figure 27 Mesure indirecte rapide de l amplitude 43 Figure 28 Nivellement indirect 45 Figure 29 Erreur de nivellement due la sph ricit 46 Figure 30 Erreur de nivellement due la r fraction atmosph rique 48 Figure 31 N D de Paris et Tour de Montlh ry 56 Figure 32 Longitude et latitude de 2 points induisent azimut et distance 56 69
La mesure du degr   du m  ridien terrestre par l   abb   PICARD  Figure 21  Longueurs d   arcs de parall  le  27  Figure 2...